[論文レビュー] Two ways of obtaining infinitesimals by refining Cantor's completion of the reals

Paolo Robuffo Giordano, Mikhail G. Katz|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、カントールの実数のコーシー列による完備化を二通りの方法で精緻化し、無限小を含む連続体を構成する。一つは超実数を用いた可逆無限小を生じる方法（超濁点を用いた）、もう一つは位相的構成により零性無限小（$ h^2 = 0 $）を生じる方法（フェルマー実数）である。主な貢献は、これらの二つのアプローチを形式的パワーと概念的明確性の観点から正式かつ直感的に比較し、その妥協点を明らかにすることにある。

ABSTRACT

Cantor's famous construction of the real continuum in terms of Cauchy sequences of rationals proceeds by imposing a suitable equivalence relation. More generally, the completion of a metric space starts from an analogous equivalence relation among sequences of points of the space. Can Cantor's relation among Cauchy sequences of reals be refined so as to produce a Cauchy complete and infinitesimal-enriched continuum? We present two possibilities: one leads to invertible infinitesimals and the hyperreals; the other to nilpotent infinitesimals (e.g. h nonzero infinitesimal such that h^2=0) and Fermat reals. One of our themes is the trade-off between formal power and intuition.

研究の動機と目的

• カントールの実数のコーシー列に対する同値関係が、非ゼロの零列を実際に無限小として保存するように精緻化可能かどうかを検討すること。
• コーシー完備性を保ちつつ、実数に無限小要素を拡張する二つの異なる連続体の構成を比較すること。
• 非アルキメデス的実数拡張において、形式的パワー（超実数の例）と直感的明確性（フェルマー実数の例）のトレードオフを分析すること。
• 新しい公理的体系を採用する前段階として、無限小拡張の基礎的理解を提供すること。特に、超冪構成と代替的な位相的アプローチに焦点を当てる。

提案手法

• コーシー列の同値関係を、インデックスの「支配的」集合に基づく新しい同値関係に精緻化する。二つの列が、cofinite または超フィルターに類似した性質を満たす集合上で一致する場合に同値とする。
• 超フィルターを用いて超実数連続体 ${}^{*}{\bb R}_{\text{f}}$ を構成し、可逆無限小を有する体を生成する。点ごとの演算により代数的構造を保存する。
• 列の芽に基づく位相的アプローチによりフェルマー実数連続体 ${{}^{\bullet}{\bb R}}$ を定義する。ここで無限小は $ h^2 = 0 $ を満たし、零性無限小を生じる。
• 各同値類にその極限を割り当てる標準部分写像 $\text{st}: {}^{*}{\bb R}_{\text{f}} \to {\bb R}$ を導入し、古典的な極限過程を一般化する。
• 両方の構成に対して転送原理を確立し、開集合を含む論理式が拡張ファンクター ${}^{*}(-)$ および ${}^{\bullet}(-)$ に関して保存されることを示す。
• フェルマー位相を用いて内部集合を定義し、開集合の拡張が、ライプニッツの連続性の法則に類似した形で、存在記号と全称記号を保存することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カントールの実数のコーシー列に対する同値関係は、ある零列が非ゼロのままで残るように精緻化可能か？ その結果、実際に無限小が得られるか？
• RQ2 可逆無限小を有する連続体（超実数）と、零性無限小を有する連続体（フェルマー実数）との間の構造的・基礎的差異は何か？
• RQ3 解析学および微分幾何学の文脈において、二つの構成の形式的パワーと直感的明確性の比較はどの程度か？
• RQ4 存在記号や全称記号の保存、連続性といった論理的性質が、標準実数からこれらの無限小拡張へどの程度移行可能か？
• RQ5 選択公理のような高度な集合論的公理に依存せずに、無限小拡張された連続体の構成を、構成的で直感的な枠組みに基礎づけられるか？

主な発見

• 超フィルターによる超実数の構成により、可逆無限小を有する体が得られ、完全な代数的閉包を備えた強力な非標準解析の枠組みが構築される。
• フェルマー実数の構成により、$ h^2 = 0 $ を満たす零性無限小を有する環が得られ、従来の非標準解析とは対照的に、より直感的で幾何的動機付けのある代替案が提供される。
• 標準部分写像 $\text{st}: {}^{*}{\bb R}_{\text{f}} \to {\bb R}$ は適切に定義されており、連続であり、各超実数にその極限値を割り当てる。
• 両方の構成に対して転送原理が成り立つ：開集合を含む論理式は、拡張ファンクター ${}^{*}(-)$ および ${}^{\bullet}(-)$ に関して保存され、ライプニッツの連続性の法則を一般化する。
• フェルマー拡張ファンクター ${}^{\bullet}(-)$ は、開集合に関して存在記号と全称記号の両方を保存する。これにより、$\forall a \in A \, \exists b \in B \, C(a,b)$ のような文が、拡張された設定へ忠実に移行する。
• フェルマー実数の構成により、滑らかな多様体や関数空間の自然な拡張が可能となり、微分幾何学および滑らかな関数空間の解析への応用が可能になる。