[論文レビュー] Two-weight and three-weight codes from trace codes over $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+v\mathbb{F}_p+uv\mathbb{F}_p$

Yan Liu, Minjia Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トレースコードとガウス和を用いて、非鎖環 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 上の無限族の二重量および三重量コードを構成する。線形グレイ写像を適用することで、少数の重みを持つアーベル $p$-進コードが得られ、二重量コードの最適性がギレスメア境界によって証明される。双対リーブ距離が 2 であることが示され、これにより独裁的秘匿共有方式が可能となる。

ABSTRACT

We construct an infinite family of two-Lee-weight and three-Lee-weight codes over the non-chain ring $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+v\mathbb{F}_p+uv\mathbb{F}_p,$ where $u^2=0,v^2=0,uv=vu.$ These codes are defined as trace codes. They have the algebraic structure of abelian codes. Their Lee weight distribution is computed by using Gauss sums. With a linear Gray map, we obtain a class of abelian three-weight codes and two-weight codes over $\mathbb{F}_p$. In particular, the two-weight codes we describe are shown to be optimal by application of the Griesmer bound. We also discuss their dual Lee distance. Finally, an application to secret sharing schemes is given.

研究の動機と目的

• 非鎖環 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 上で少数の重みを持つ新しい線形コードの族を構成すること。
• ガウス和を用いて、この環上のトレースコードのリーブ重み分布を特定すること。
• ギレスメア境界を用いて、得られた $\mathbb{F}_p$ 上の二重量コードの最適性を確立すること。
• 双対リーブ距離を分析し、その結果を秘匿共有方式に応用すること。
• より複雑な環構造上での巡回コードからアーベルコードへの拡張により、先行研究の構成を一般化すること。

提案手法

• 評価写像 $Ev(a) = (\mathrm{Tr}(ax))_{x \in L}$ を用いて、環 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m} + v\mathbb{F}_{p^m} + uv\mathbb{F}_{p^m}$ 上のトレースコード $C(m,p)$ を定義する。
• ガウス和を用いて、$\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}^*$ の平方または非平方の状態に応じて、符号語のリーブ重み分布を計算する。
• 環のアーベル構造を保つ線形グレイ写像 $\phi$ を適用し、環上の符号を $p$-進符号に写像する。
• 球詰め境界と環の単位元の性質を用いて、双対リーブ距離 $d^\prime = 2$ を確立する。
• 比 $\omega_0 / \omega_\infty > (p-1)/p$ の基準を活用し、特定の状況下ですべての非ゼロ符号語が最小であることを証明する。
• 符号語 $\phi(C(m,p))$ の最小符号語に基づいて、秘匿共有方式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 上のトレースコードは、少数の重みを持つ符号を生み出すことができるか？
• RQ2 このようなトレースコードの正確なリーブ重み分布は何か？ また、$m$ と $p$ にどのように依存するか？
• RQ3 グレイ写像による得られた $p$-進符号は、ギレスメア境界の観点から最適であるか？
• RQ4 構成された符号の双対リーブ距離は何か？ そして、秘匿共有にどのような含意を持つのか？
• RQ5 符号の最小符号語は、独裁的または民衆的秘匿共有方式を導くことができるか？

主な発見

• $a = \alpha uv$ の場合、$C(m,p)$ の符号語のリーブ重みは $\alpha$ の平方性に依存し、$m$ が単偶数で $p \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、重みは $2(p-1)(p^{4m-1} \pm \epsilon(p)p^{(7m-2)/2})$ となる。
• $m$ が奇数で $p \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、$a = \alpha uv$ のリーブ重みは $2(p^{4m} - p^{4m-1})$ であり、他の符号語の重みは $2(p-1)(p^{4m-1} - p^{3m-1})$ である。
• グレイ写像によって得られる $\mathbb{F}_p$ 上の二重量符号は、ギレスメア境界によって最適であることが確認された。
• すべての $m > 1$ に対して、$C(m,p)$ の双対リーブ距離 $d^\prime$ は正確に 2 である。これは、重み 2 の符号語が存在し、重み 1 の符号語が存在しないことを示唆する。
• $m > 2$ かつ $m$ が偶数、または $m$ が奇数で $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、$p$-進画像符号のすべての非ゼロ符号語が最小である。これは、最小重みと最大重みの比が $(p-1)/p$ を上回るためである。
• $\phi(C(m,p))$ から構築された秘匿共有方式は独裁的である。$d^\prime = 2$ であるため、すべてのコалиションに属する「独裁者」が存在する。