[論文レビュー] Type III and spectral triples

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|Sep 25, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 75

ひとこと要約

本稿では、標準的なスペクトル三重項では到達できないタイプIII因子へ非可換幾何学を拡張するため、代数自己同型を用いて交換子条件を変更することで、ねじれスペクトル三重項の枠組みを導入する。主な結果として、チャーン類およびインデックスペアリングがねじれのない循環コホモロジーおよびK理論にとどまることを示し、局所インデックス公式がタイプIII設定へ拡張可能であることを示している。これは、余次元1のフォリエーションの横断的幾何に応用して検証されている。

ABSTRACT

We explain how a simple twisting of the notion of spectral triple allows to incorporate type III examples, such as those arising from the transverse geometry of codimension one foliations. Since the twisting of the commutators turns the usual hypertrace constructed out of the Dixmier trace into a twisted trace on the coordinate algebra, one would be tempted to interpret that as a manifestation of twisting at the level of cyclic cohomology, akin to that introduced by the authors in the context of Hopf cyclic cohomology. The main point of this note, besides giving simple natural examples of the general notion and developing the first basic steps of the theory, is to show that contrary to the initial expectations no cohomological twisting is in fact required. The Chern character of finitely summable spectral triples extends to the twisted case, and lands in fact in ordinary (untwisted) cyclic cohomology. The same holds true for the local Hochschild character. The index pairing with ordinary (untwisted) K-theory continues to make sense and the index formula is still given by the pairing of the corresponding Chern characters. This opens the road to extending the local index formula, as well as the analogue of the hypoelliptic construction on the dual system together with the corresponding Thom isomorphism, to the context of twisted spectral triples of type III.

研究の動機と目的

• 標準的な非可換幾何学では除外されるタイプIIIフォン・ノイマン代数を含むスペクトル三重項の枠組みを拡張すること。
• 有限和可能性およびディクスミエ・トレース——インデックス公式の中心的要素——が、超トレースが存在しないためタイプIIIで失敗するという課題を解決すること。
• 交換子条件のねじれが加わっても、チャーン類およびインデックスペアリングがねじれのない循環コホモロジーに正しく定義されることを示すこと。
• 局所インデックス公式および関連構成（例：トム同型、擬微分型インデックス理論）をタイプIII例へ拡張する基盤を提供すること。
• 特に微分同相群によるクロス積代数を用いて、余次元1フォリエーションの横断的幾何にねじれ枠組みを適用することの有効性を示すこと。

提案手法

• 代数𝒜上の自己同型σを用いてねじれスペクトル三重項を定義し、有界性条件を [D, a]σ = D a − σ(a) D が有界であることを要請するように変更する。
• 自己同型を σ(a) = e^{2h} a e^{-2h} とし、自己作用h ∈ 𝒜 が自己共役である場合に、ディラック作用素の共形スケーリングに自然に現れる。
• 有限和可能性を持つねじれスペクトル三重項の古典的チャーン類が、ねじれコホモロジーではなく、通常の（ねじれのない）循環コホモロジーに値をとることを示す。
• ねじれのないK理論とのインデックスペアリングが依然として有効であり、チャーン類のペアリングによる計算が可能であることを確立する。
• 記号的計算およびホモトピー技法を用いて、ねじれチャーン類と標準的ものの関係を確立し、変形に関して連続性および不変性を証明する。
• Γが向きを保つ微分同相写像を定めるとき、𝒜 = C∞(S¹) ⋊ Γ 上の横断的スペクトル三重項にこの枠組みを適用し、局所ホッホシュィルトコサイクルを明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレースが存在せず、標準的な非可換幾何学で除外されるタイプIII因子を含むスペクトル三重項の概念を一般化できるか？
• RQ2 ねじれスペクトル三重項のチャーン類は、依然としてねじれのない循環コホモロジーに値をとるのか？ これによりインデックス公式の構造が保存されるか？
• RQ3 ねじれスペクトル三重項を用いて、局所インデックス公式をタイプIII例へ拡張可能か？
• RQ4 交換子条件のねじれがK理論とのインデックスペアリングに与える影響は何か？ 依然としてチャーン類ペアリングにより計算可能か？
• RQ5 ねじれ設定における局所ホッホシュィルトコサイクルの明示的形は何か？ これはフォリエーション理論における横断的基本類を表すか？

主な発見

• 有限和可能性を持つσ-ねじれスペクトル三重項のチャーン類は、予想に反してねじれのない循環コホモロジーに値をとる。
• ねじれのないK理論とのインデックスペアリングは依然として正しく定義され、標準的なチャーン類ペアリングによる計算が可能であり、インデックス公式の構造が保持される。
• Γが向きを保つ微分同相写像を定めるとき、C∞(S¹) ⋊ Γ 上の横断的スペクトル三重項の局所ホッホシュィルトコサイクルは、Ψ₁ = −2i τ + ℒδ τ として明示的に計算可能であり、τは循環コサイクル、ℒδはリー微分である。
• この局所コサイクルは、周期的循環コホモロジーにおける横断的基本類 [S¹/Γ] に比例するクラスを表す。
• ねじれスペクトル三重項枠組みは、すべてのt ∈ ℝに対して |D|⁻ᵗ(|D|ᵗ a − σᵗ(a) |D|ᵗ) ∈ ℒ^{n,∞} を満たすという重要な正則性条件を満たしており、記号的計算と整合する。
• 記号的計算を変更することで、標準的およびねじれチャーン類の間の連続的ホモトピーを定義でき、構成の整合性および連続性が確認される。