[論文レビュー] Typicality of normal numbers with respect to the Cantor series expansion

Bill Mance|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、極限で無限かつ完全に発散する基本列 $ Q $ に対して、$[0,1)$ 内のほとんどすべての実数が $ Q $-正規であり、ブロック周波数に明確な漸近的境界が存在することを確立する。強化された $ Q $-正規性を導入し、非定数の $ Q $ に対して標準的な $ Q $-正規性よりも厳密に強いことを証明している。また、$ Q $-正規数が空集合である場合でさえ、$ Q $-比正規数が $[0,1)$ で稠密であることを示している。

ABSTRACT

Fix a sequence of integers $Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$ such that $q_n$ is greater than or equal to 2 for all $n$. In this paper, we improve upon results by J. Galambos and F. Schweiger showing that almost every (in the sense of Lebesgue measure) real number in $[0,1)$ is $Q$-normal with respect to the $Q$-Cantor series expansion for sequences $Q$ that satisfy a certain condition. We also provide asymptotics describing the number of occurrences of blocks of digits in the $Q$-Cantor series expansion of a typical number. The notion of strong $Q$-normality, that satisfies a similar typicality result, is introduced. Both of these notions are equivalent for the $b$-ary expansion, but strong normality is stronger than normality for the Cantor series expansion. In order to show this, we provide an explicit construction of a sequence $Q$ and a real number that is $Q$-normal, but not strongly $Q$-normal. We use the results in this paper to show that under a mild condition on the sequence $Q$, a set satisfying a weaker notion of normality, studied by A. Rényi in \cite{Renyi}, will be dense in $[0,1)$.

研究の動機と目的

• 古典的正規数理論を一般化された $ Q $-カントール級数展開枠組みに拡張すること。
• ほとんどすべての $ x \in [0,1) $ が $ Q $-正規であるような $ Q $ に関する条件を特定すること。
• 強化された $ Q $-正規性の概念を導入し、標準的な $ Q $-正規性とは区別して分析すること。
• $ Q $-正規数が存在しない場合でも、$[0,1)$ における $ Q $-比正規数の稠密性を調査すること。
• 典型的な数の $ Q $-カントール級数展開におけるブロック出現回数の正確な漸近的推定値を提供すること。

提案手法

• 確率的技法とボレル＝カンテーリ型の議論を用いて、$ Q $-カントール級数展開における桁ブロック周波数を分析する。
• 無限積の収束基準（補題 4.10）を適用し、$ Q $ が $ k $-収束する場合、$ Q $-正規数の集合は測度ゼロであることを示す。
• ブロックカウント $ N_n^Q(B,x) $ を $ k $ 個の部分ブロックカウント $ N_{n,p}(B,x) $ に分解し、それぞれを集中不等式で分析する。
• 補題 4.8 および 4.5 を用いて、典型的な $ x $ に対して $ N_n^Q(B,x) = Q_n^{(k)} + O\left(\sqrt{Q_n^{(k)}} \log\log Q_n^{(k)}\right)^{1/2} \right) $ の形の漸近的境界を導出する。
• $ q_n \to \infty $ だが不規則な成長を示すように $ q_n $ を選ぶことにより、$ Q $-正規だが強化された $ Q $-正規でない数を明示的に構成する。
• 完全に発散する $ Q' $-正規数を用いた極限的構成により、$ Q $ が極限で無限である場合に $ Q $-比正規数が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本列 $ Q $ に対して、$[0,1)$ 内の $ Q $-正規数の集合がフル・レベーグ測度をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 強化された $ Q $-正規性は標準的な $ Q $-正規性とどのように異なり、いつ厳密に強いのか？
• RQ3 $ Q $-正規数が存在しない場合でも、$ Q $-比正規数が $[0,1)$ で稠密に存在しうるか？
• RQ4 典型的な実数の $ Q $-カントール級数展開におけるブロック出現頻度を特徴づける正確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 非定数の $ Q $ に対して、$ Q $-正規だが強化された $ Q $-正規でない数を構成的に生成する方法はあるか？

主な発見

• 任意の極限で無限かつ $ k $-発散する基本列 $ Q $ に対して、ほとんどすべての $ x \in [0,1) $ が $ \lim_{n \to \infty} \frac{N_n^Q(B,x)}{Q_n^{(k)}} = 1 $ を満たす。これは $ Q $-正規数の典型性を確認する。
• 論文は、ほとんどすべての $ x $ に対して $ N_n^Q(B,x) = Q_n^{(k)} + O\left(\sqrt{Q_n^{(k)}} (\log\log Q_n^{(k)})^{1/2}\right) $ の漸近的公式を確立し、鋭い誤差境界を提供する。
• $ q_n = n+1 $ の場合に、$ Q $-正規だが強化された $ Q $-正規でない数が存在することを明示的構成により示し、$ Q $-カントール級数設定において強化正規性が正規性よりも厳密に強いことを証明する。
• $ Q $ が $ k $-収束する場合、$ Q $-正規数の集合は空集合である。これは長さ $ k $ のゼロブロックを避ける数の正の測度が存在するためである。
• 任意の極限で無限の $ Q $ に対して、$ Q $-比正規数の集合は $[0,1)$ で稠密である。$ Q $-正規数が存在しない場合でも同様である。
• 補題 4.12 により、$ Q $-正規数が $[0,1)$ でフル測度をもつのは、$ Q $ が完全に発散するときであり、リーニーの結果をより強い漸近的制御で拡張する。