[論文レビュー] Tyurin parameters and elliptic analogue of nonlinear Schrödinger hierarchy

Kanehisa Takasaki|ArXiv.org|Jul 18, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可動極と $2\times2$ 行列値楕円関数の構造的データであるティュイリンパラメータ—を用いて、非線形シュレーディンガー階層の2つの楕円的類似物を構成する。退化点を伴うリーマン＝ヒルベルト問題を定式化し、その系を無限次元のグラスマン多様体へ写像することで、階層が普遍的な指数関数的フローによって進化することを示し、サトウ＝セガール＝ウィルソンの枠組みを非自明なベクトル bundle を持つ楕円曲線へ一般化する。

ABSTRACT

Two "elliptic analogues'' of the nonlinear Schrödinger hiererchy are constructed, and their status in the Grassmannian perspective of soliton equations is elucidated. In addition to the usual fields $u,v$, these elliptic analogues have new dynamical variables called ``Tyurin parameters,'' which are connected with a family of vector bundles over the elliptic curve in consideration. The zero-curvature equations of these systems are formulated by a sequence of $2 imes 2$ matrices $A_n(z)$, $n = 1,2,...$, of elliptic functions. In addition to a fixed pole at $z = 0$, these matrices have several extra poles. Tyurin parameters consist of the coordinates of those poles and some additional parameters that describe the structure of $A_n(z)$'s. Two distinct solutions of the auxiliary linear equations are constructed, and shown to form a Riemann-Hilbert pair with degeneration points. The Riemann-Hilbert pair is used to define a mapping to an infinite dimensional Grassmann variety. The elliptic analogues of the nonlinear Schrödinger hierarchy are thereby mapped to a simple dynamical system on a special subset of the Grassmann variety.

研究の動機と目的

• 可積分系のソリトン方程式のグラスマン多様体的視点を、楕円曲線上の可積分系へ拡張すること。
• 高(genus)の設定におけるリーマン＝ロッホ定理の障害を、動的変数としてのティュイリンパラメータの導入によって解消すること。
• 非自明な正則ベクトル bundle を持つ楕円曲線上の可積分系に対して、退化点を伴うリーマン＝ヒルベルト定式化を確立すること。
• 得られた階層が、古典的ソリトン方程式と類似した、無限次元グラスマン多様体上の単純な指数関数的フローとして記述可能であることを示すこと。

提案手法

• 動的極を伴うクリチェバーの手法に基づく1つの楕円的類似物と、エレネンツとルブツォフの手法にインspiredされた固定極を伴うもう1つの類似物を、2通りに構成する。
• 階層の時間発展演算子を体系的に導出するための生成関数 $U(z)$ を導入する。
• $z=0$ と可動点 $\gamma_s$ に極を持つ、楕円曲面上のメロモルフィックな $2\times2$ 行列 $A_n(z)$ を定義し、ティュイリンパラメータ $\gamma_s$ と $\alpha_s$ で特徴づける。
• 補助線形系の2つの解を構成し、それらがティュイリンパラメータに位置する退化点をもつリーマン＝ヒルベルト対を形成する。
• ティュイリンパラメータによって定義される基点 $W_0(\gamma,\alpha)$ を用いて、ドレッシング変換により系を無限次元グラスマン多様体 $\mathrm{Gr}$ へ写像する。
• ドレッシング真空 $W(t)$ の時間発展演算子が、$\mathrm{Gr}$ 上の普遍的フローと同一の指数関数的法則に従うことを示し、グラスマン多様体的構造の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ティュイリンパラメータを動的変数として用いることで、非線形シュレーディンガー階層を楕円曲線へどのように一般化できるか？
• RQ2 非自明な正則ベクトル bundle を持つ楕円曲線上の可積分系に対して、適切なリーマン＝ヒルベルト定式化は何か？
• RQ3 サトウとセガール＝ウィルソンのグラスマン多様体的枠組みは、可動極と退化点を伴う系へどのように拡張できるか？
• RQ4 このような楕円的類似物の力学は、古典的ソリトン方程式と類似した、グラスマン多様体上の指数関数的フローとして記述可能か？
• RQ5 基点 $W_0(\gamma,\alpha)$ は、これらの階層のグラスマン多様体的実現において果たす役割は何か？

主な発見

• 非線形シュレーディンガー階層の2つの楕円的類似物が、$z=0$ と可動点 $\gamma_s$ に極を持つ $2\times2$ 行列値楕円関数 $A_n(z)$ を用いて構成され、ティュイリンパラメータ $\gamma_s$ と $\alpha_s$ でパラメータ化されている。
• 補助線形系の2つの解を用いて、退化点を伴うリーマン＝ヒルベルト問題が定式化され、楕円曲面上の正則ベクトル bundle の幾何的データが符号化されている。
• ティュイリンパラメータによって定義される基点 $W_0(\gamma,\alpha)$ を用いて、ドレッシング変換により系が無限次元グラスマン多様体 $\mathrm{Gr}$ へ写像される。
• ドレッシング真空 $W(t) = W_0(\gamma(t),\alpha(t))\phi(t,z)$ の時間発展演算子が、$\mathrm{Gr}$ 上の普遍的フローと同一の指数関数的法則に従うことが示され、グラスマン多様体的枠組みにおける可積分性が裏付けられる。
• 構成は $r\times r$ 行列および genus $g$ の代数曲線へ一般化可能であり、クリチェバー型系では $2g$ 個のティュイリンパラメータ、エレネンツ＝ルブツォフ型系では $3g$ 個のティュイリンパラメータを必要とする。
• 非自明なベクトル bundle を持つにもかかわらず、これらの楕円階層と古典的ソリトン方程式との間には、グラスマン多様体的視点で完全な類似性が確立されている。