[論文レビュー] U(g)-finite locally analytic representations

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|May 8, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、解析的D(G,K)-加群を用いてp進Lie群の局所解析的表現の双対性枠組みを構築し、U(g)-有限な解析的加群が、非可約代数的表現と滑らかで強く適応可能な表現のテンソル積の有限和に分解されることを示している。主な貢献は、分岐的で単純連結な半単純群に対してU(g)-有限な解析的加群の完全な構造定理を確立し、SL₂(Qp)の主系列に応用することで、位相的長さが3以下であることを証明している。

ABSTRACT

In this paper we continue the study of locally analytic representations of a $p$-adic Lie group $G$ in vector spaces over a spherically complete non-archimedean field $K$, building on the algebraic approach to such representations introduced in our paper "Locally analytic distributions and p-adic representation theory, with applications to GL_2." In that paper we associated to a representation $V$ a module $M$ over the ring $D(G,K)$ of locally analytic distributions on $G$ and described an admissibility condition on $V$ in terms of algebraic properties of $M$. In this paper we determine the relationship between our admissibility condition on locally analytic modules and the traditional admissibility of Langlands theory. We then analyze the class of locally analytic representations with the property that their associated modules are annihilated by an ideal of finite codimension in the universal enveloping algebra of G, showing under some hypotheses on G that they are sums of representations of the form $X\otimes Y$, with X finite dimensional and Y smooth. The irreducible representations of this type are obtained when X and Y are irreducible. We conclude by analyzing the reducible members of the locally analytic principal series of $SL_2(\Qp)$.

研究の動機と目的

• 局所解析的G-表現の双対性枠組みを、解析的D(G,K)-加群を用いて構築すること。
• U(g)-有限な解析的D(G,K)-加群が、その非可約成分への分解によって特徴付けられることを明らかにすること。
• 特にその位相的長さについて、SL₂(Qp)の局所解析的主系列表現の構造を特定すること。
• 滑らかな表現が双対性を介して解析的D(G,K)-加群を導く条件を明確にすること。
• 非代数的閉体係数へのハリシュ・チャンドラの強く適応可能な表現理論の拡張。

提案手法

• 局所解析的G-表現に双対関手を適用した像として得られる解析的D(G,K)-加群の圏を導入すること。
• 明示的な位相を避けて代数的に加群を定義し、点を分離する局所解析的線形汎関数の存在を要請すること。
• 滑らかな表現と解析的D(G,K)-加群の双対性を用いて、滑らかな表現が強く適応可能である条件を特徴付けること。
• Qpの有限拡大L上の再帰的群Gに対して理論を適用し、特に分岐的で半単純かつ単純連結な群に焦点を当てる。
• SL₂(Qp)の局所解析的主系列を、対応するD(G,K)-加群に分解し、その商を分析することで解析すること。
• ユニポテンツ部分群上の多項式関数と微分作用素を用いた明示的計算により、正確な完全系列を構成し、部分加群を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進群の滑らかな表現が、双対性のもとでいつ解析的D(G,K)-加群を導くか。
• RQ2 Qp上に定義された分岐的で半単純かつ単純連結な群に対して、U(g)-有限な解析的D(G,K)-加群の構造はいかなるものか。
• RQ3 SL₂(Qp)の局所解析的主系列の位相的長さは何か。
• RQ4 非代数的閉体係数における滑らかな表現において、強く適応可能であることと有限長の条件がどのように作用するか。
• RQ5 U(g)-有限な解析的加群の双対の非可約成分への正確な分解は何か。

主な発見

• 滑らかな表現が解析的D(G,K)-加群を導くのは、それが強く適応可能である（コンパクト開部分群の非可約表現の重複度が有限）場合に限り、かつその場合に限る。
• Qpの有限拡大L上の有限長の滑らかな表現は、すべて強く適応可能であり、ハリシュ・チャンドラの結果を非代数的閉体係数に拡張する。
• 分岐的で半単純かつ単純連結な群に対して、U(g)-有限な解析的D(G,K)-加群は、E ⊗ Hom(V,K)の形の加群の有限和に分解される。ここでEは有限次元非可約代数的加群、Vは滑らかで強く適応可能な加群である。
• 双対加群E* ⊗ V がK[G]-加群として単純であるのは、V が非可約である場合に限り、かつその場合に限る。
• SL₂(Qp)の局所解析的主系列は、位相的長さが3以下であり、これはモリタの結果を別法により確認したものである。
• 誘導表現上の交換作用素の核は、誘導された代数的表現と非可約滑らかな表現の双対のテンソル積に同型な成分をもつジョルダン・ホルダー系列を持つ。