[論文レビュー] U-max-Statistics and Limit Theorems for Perimeters and Areas of Random Polygons

Elizaveta Koroleva, Ya. Yu. Nikitin|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単位円に内接または外接するランダムな m 角形の最大および最小の周囲と面積について、U-最大統計量理論を拡張して極限定理を導出する。漸近的解析と極値理論を用いて、外接 m 角形のスケーリング済み最大周囲と最小面積が、特定の収束速度を持つワイブル分布に収束することを確立し、m → ∞ のとき、内接 m 角形の最大面積と外接 m 角形の最小周囲に関する定数の間で予期しない漸近的同等性が明らかになる。

ABSTRACT

Recently W. Lao and M. Mayer [6], [7], [9] considered $U$-max - statistics, where instead of sum appears the maximum over the same set of indices. Such statistics often appear in stochastic geometry. The examples are given by the largest distance between random points in a ball, the maximal diameter of a random polygon, the largest scalar product within a sample of points, etc. Their limit distribution is related to the distribution of extreme values. Among the interesting results obtained in [6], [7], [9] are limit theorems for the maximal perimeter and the maximal area of random triangles inscribed in a circumference. In the present paper we generalize these theorems to convex $m$-polygons, $m \geq 3,$ with random vertices on the circumference. Next, a similar problem is solved for the minimal perimeter and the minimal area of circumscribed $m$-polygons which has not been previously considered in literature. Finally, we discuss the obtained results when $m o \infty.$

研究の動機と目的

• m ≥ 3 に対して、ランダムな三角形の最大周囲および最大面積に関する先行結果を、凸 m 角形へ一般化すること。
• 外接 m 角形の最小周囲および最小面積に関する極限定理を確立すること。これは、これまでに未解決であった問題である。
• スターリングの近似を用いて、m → ∞ のときの極限定数の漸近的挙動を分析すること。
• 内接多角形の最大関数と外接多角形の最小関数に関する定数の間で、予期しない漸近的同等性を同定すること。

提案手法

• 単位円上の i.i.d. 点のすべての m ツーリングに対して対称カーネル関数の最大値として、U-最大統計量を形式化する。
• 尾確率および従属構造に関する所定の条件の下で、Lao-Mayer および Silverman-Brown の定理を適用し、分布収束がワイブル分布に一致することを導出する。
• 最大および最小関数の収束速度を支配する極限定数 K_{im} (i=1,2,3,4) の正確な表現を導出する。
• スターリングの公式を用いて、m → ∞ のときのガンマ関数および三角関数項の漸近的近似を実行する。
• 詳細な漸近的解析により、K_{2m} ∼ K_{3m} および K_{1m} ∼ K_{4m} が成り立つことを示し、予期しない同等性を明らかにする。
• スケーリング済み関数の収束速度が O(n^{-(m-1)/2}) であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n → ∞ かつ m ≥ 3 のとき、単位円に内接するランダムな m 角形の最大周囲および最大面積の極限分布は何か？
• RQ2 n → ∞ かつ m ≥ 3 のとき、単位円に外接するランダムな m 角形の最小周囲および最小面積の極限分布は何か？
• RQ3 これらの極値関数の極限定数は、m → ∞ のときどのように振る舞うか？
• RQ4 内接多角形の最大関数と外接多角形の最小関数に関する定数の間で、予期しない漸近的同等性が存在するか？
• RQ5 スケーリング済み極値関数の極限における収束速度は何か？

主な発見

• スケーリング済み内接 m 角形の最大周囲は、累積分布関数 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{1m}} のワイブル分布に分布収束する。
• スケーリング済み内接 m 角形の最大面積は、累積分布関数 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{2m}} のワイブル分布に分布収束する。
• スケーリング済み外接 m 角形の最小周囲は、累積分布関数 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{3m}} のワイブル分布に分布収束する。
• スケーリング済み外接 m 角形の最小面積は、累積分布関数 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{4m}} のワイブル分布に分布収束する。
• m → ∞ のとき、漸近的定数は K_{2m} ∼ K_{3m} および K_{1m} ∼ K_{4m} を満たし、内接多角形の最大面積と外接多角形の最小周囲に関する定数の間で予期しない漸近的同等性が示される。
• すべてのスケーリング済み関数の収束速度は O(n^{-(m-1)/2}) であり、m が増加するにつれて改善する。