[論文レビュー] U-Processes, U-Quantile Processes and Generalized Linear Statistics of Dependent Data

Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Statistical Methods and Inference参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、絶対的正則過程における強 mixing または L¹ 近似エポック依存性の下で、U 統計量、U 分位数、L 統計量を含む一般化線形（GL）統計量の漸近理論を、弱依存性の下で確立する。これは、経験的 U プロセスがガウス過程によりほとんど確実に近似可能であることを示し、これにより、より弱い条件下で不変性原理、中心極限定理、繰り返し対数法則が得られる。

ABSTRACT

Generalized linear statistics are an unifying class that contains U-statistics, U-quantiles, L-statistics as well as trimmed and winsorized U-statistics. For example, many commonly used estimators of scale fall into this class. GL-statistics only have been studied under independence; in this paper, we develop an asymptotic theory for GL-statistics of sequences which are strongly mixing or L^1 near epoch dependent on an absolutely regular process. For this purpose, we prove an almost sure approximation of the empirical U-process by a Gaussian process. With the help of a generalized Bahadur representation, it follows that such a strong invariance principle also holds for the empirical U-quantile process and consequently for GL-statistics. We obtain central limit theorems and laws of the iterated logarithm for U-processes, U-quantile processes and GL-statistics as straightforward corollaries.

研究の動機と目的

• 独立データに限らない一般化線形統計量の漸近理論を弱依存列へ拡張すること。
• 強混合または L¹ 近似エポック依存性の下で、U プロセスおよび U 分位数プロセスに対する強い不変性原理を確立すること。
• 先行研究よりも弱いモーメントおよび依存性条件の下で、GL 統計量の中心極限定理および繰り返し対数法則を導出すること。
• 依存性がある状況下で、Bahadur 表現を U 分位数へ一般化し、関数極限定理を可能にすること。
• 弱依存性の下で U 統計量、U 分位数、L 統計量、およびトリムム・ウィンザリッド U 統計量を統一的に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• U 統計量を線形部と退化部に分離するため、Hoeffding 分解を用いる。
• 強混合または L¹ 近似エポック依存性の下で、経験的 U プロセスがガウス過程によりほとんど確実に近似可能であることを適用する。
• U 分位数プロセスとガウス過程を結びつけるために、一般化された Bahadur 表現を用いる。
• 技術的条件を課す：3番目の引数に関して有界で非減少な核、U 分布関数の連続性、および h に対する一様変動条件。
• ガウス過程近似とリプシッツ関数への写像を用いて、関数極限定理を適用する。
• 核 h(x,y,t) = 1_{g(x,y) ≤ t} を用いて、経験的 U 分布関数を t をインデックスとする確率過程として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱依存性の下で、経験的 U プロセスに対して強い不変性原理を確立できるか？
• RQ2 元の系列が依存している場合、U 分位数に対して一般化された Bahadur 表現が成り立つか？
• RQ3 強混合または近似エポック依存性の下で、GL 統計量の中心極限定理および繰り返し対数法則が成り立つ条件は何か？
• RQ4 弱依存性の下で、U 統計量の漸近理論を U 分位数および L 統計量へ拡張できるか？
• RQ5 より弱い依存性およびモーメント条件の下で、GL 統計量の収束速度を向上させられるか？

主な発見

• 絶対的正則過程における強混合または L¹ 近似エポック依存性の下で、経験的 U プロセスがガウス過程によりほとんど確実に近似可能である。
• 経験的 U 分位数プロセスに対して強い不変性原理が確立され、誤差率はほとんど確実に O(log⁻¹/³⁸⁴⁰ n) である。
• 依存データの下で、U 分位数の一般化された Bahadur 表現が拡張され、関数極限定理が可能になった。
• U プロセス、U 分位数プロセス、および GL 統計量の中心極限定理および繰り返し対数法則が、系として導出された。
• 弱依存性の下で、GL 統計量の収束速度が先行研究よりも向上し、不変性原理における明示的な誤差境界が得られた。
• 本理論により、弱依存データの下で U 統計量、U 分位数、L 統計量、およびトリムム・ウィンザリッド U 統計量が、統一された漸近枠組みで取り扱えるようになった。