[論文レビュー] (U,V)-Ordering and a Duality Theorem for Risk Aversion and Lorenz-type Orderings

Alessandra Giovagnoli, Henry P. Wynn|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2011

Elasticity and Wave Propagation被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、累積分布関数（CDF）の確率的順序とその分位数逆関数（逆CDF）の順序を統一する一般化された（U,V）-順序枠組みを導入し、リスク回避と不足指標の間に双対定理を確立する。主な貢献は、歪み測度下でのFとF⁻¹上での順序の同等性を示す包括的な双対性結果であり、2次の確率的優位性、Lorenz順序、Yaariの社会的福祉関数、および主要化の応用を含む。

ABSTRACT

There is a duality theory connecting certain stochastic orderings between cumulative distribution functions F_1,F_2 and stochastic orderings between their inverses F_1^(-1),F_2^(-1). This underlies some theories of utility in the case of the cdf and deprivation indices in the case of the inverse. Under certain conditions there is an equivalence between the two theories. An example is the equivalence between second order stochastic dominance and the Lorenz ordering. This duality is generalised to include the case where there is "distortion" of the cdf of the form v(F) and also of the inverse. A comprehensive duality theorem is presented in a form which includes the distortions and links the duality to the parallel theories of risk and deprivation indices. It is shown that some well-known examples are special cases of the results, including some from the Yaari social welfare theory and the theory of majorization.

研究の動機と目的

• 累積分布関数（CDF）の確率的順序とその分位数逆関数（F⁻¹）の順序の間の双対性を確立することで、リスク回避と収入不平等の理論を統一すること。
• 既存の双対性結果（例：2次の確率的優位性とLorenz順序の同等性）を一般化し、CDFとその逆関数の両方に歪みを組み込むこと。
• 同一の数学的枠組みを用いて、効用に基づく意思決定理論（例：Yaariの社会的福祉関数）と不足指標理論を結びつける双対定理を形式化すること。
• 同一クラスの効用関数がCDFの歪みと分位数関数の双対的歪みの両方を表すことができることを示し、2つの並列理論を統合すること。
• 主な化、プロスペクト理論、不平等指標を含む一般枠組みを提供し、それらを提案された（U,V）-順序の特別な場合として埋め込むこと。

提案手法

• Lebesgue-Stieltjes積分を用いて（U,V）-順序を定義：F₁ ≺_{(U,V)} F₂ とは、すべてのu ∈ U、v ∈ Vに対して ∫v(F₁(x))du(x) ≥ ∫v(F₂(x))du(x) が成り立つこと。
• 同じ歪み関数を用いて分位数関数F⁻¹上での双対的順序を導入し、FとF⁻¹の間の対称的双対性を確立すること。
• 部分積分と変数変換の技法を用いて、双対性恒等式 ∫u(x)dv(F(x)) = ∫u(F⁻¹(α))dv(α) を証明（すべてのu ∈ U、v ∈ Vに対して）。
• FとF⁻¹上の積分の一貫性を保証するための重要な恒等式を提供する補題4を確立：不連続点やジャンプ点に対しても有効。
• 主な双対性定理（定理1）を証明し、F上での（U,V）-順序がF⁻¹上での双対的順序と同等であり、両者とも同じ関数クラスにおける期待効用優位性に同等であることを示すこと。
• 本フレームワークを用いて既知の結果を回復：2次の確率的優位性 ↔ Lorenz順序、Yaariの社会的福祉関数、主な化が特別な場合として得られること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の歪み関数の下で、累積分布関数（CDF）の確率的順序とその分位数関数（F⁻¹）の順序との間の双対的関係は、どのように確立できるか？
• RQ2 F上での（U,V）-順序とF⁻¹上での双対的（Ũ,Ṽ）-順序の同等性を保証する条件は何か？ そして、その同等性はどのように形式的に確立できるか？
• RQ3 同一クラスの効用関数が、Fに対してはリスク回避基準として、F⁻¹に対しては不足指標基準として、それぞれどのように機能するか？
• RQ4 2次の確率的優位性、Lorenz順序、主な化といった既知の順序は、どのように提案された（U,V）-順序枠組みの特別な場合として現れるか？
• RQ5 効用理論と不足理論の間の双対性は、FとF⁻¹上での歪み測度を含む共通の数学的構造によって形式化可能か？

主な発見

• 本稿は包括的な双対性定理を確立し、F上での（U,V）-順序がF⁻¹上での双対的順序と同等であり、両者とも同じ関数クラスにおける期待効用優位性と同等であることを示した。
• 恒等式 ∫u(x)dv(F(x)) = ∫u(F⁻¹(α))dv(α) は、すべてのu ∈ U、v ∈ Vに対して成り立ち、Fとその逆関数上の積分の間の基礎的リンクを提供する。
• Uが非減少の凹関数のクラスで、Vが恒等関数である場合、2次の確率的優位性とLorenz順序が特別な場合として回復される。
• Yaariの社会的福祉関数と主な化理論は、適切なUとVの選択のもとで（U,V）-順序枠組みの特別な例として示された。
• 本フレームワークは、F上でのリスク回避（効用関数による）とF⁻¹上での不足回避（効用関数による）を統合し、同一の関数クラスが両方の役割を果たすことを示した。
• 補題4は重要な恒等式を提供する：α₀ = F(x₀) または x₀ = F⁻¹(α₀）のとき、∫_{-∞}^{x₀} v₀(F(x))du₀(x) + ∫_{0}^{α₀} u₀(F⁻¹(α))dv₀(α) = v₀(α₀)u₀(x₀) が成り立ち、ジャンプ点でも一貫性が保証される。