[論文レビュー] Ubiquitous systems and metric number theory

Arnaud Durand|ArXiv.org|Sep 22, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非一様ディオファントス近似条件によって定義される集合——具体的には、半径を指数 $t \geq 1$ で上げた球族によって近似される $\mathbb{R}^d$ 内の点——が、基礎となる球族が非一様的普遍的系を形成する限り、ゲージ関数 $h$ に関する大交差性を持つ集合のクラス $\mathrm{G}^{h}(\mathbb{R}^d)$ に属することを確立する。主な結果は、$h$ の近くでより速く増加する任意のゲージ関数 $g$ に対して、そのような集合のハウスドルフ $g$-測度が無限大であることであり、これは古典的な度合い論的数論の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We investigate the size and large intersection properties of $$E_{t}=\{x\in\R^d \:|\: \|x-k-x_{i}\|0$. We establish that the set $E_{t}$ belongs to the class $\grint^h(\R^d)$ of sets with large intersection with respect to a certain gauge function $h$, provided that $(x_{i},r_{i})_{i\in I}$ is a heterogeneous ubiquitous system with respect to $μ$. In particular, $E_{t}$ has infinite Hausdorff $g$-measure for every gauge function $g$ that increases faster than $h$ in a neighborhood of zero. We also give several applications to metric number theory.

研究の動機と目的

• 非一様ディオファントス近似によって定義される $\mathbb{R}^d$ 内の集合のサイズおよび大交差性を特徴づけること。
• 非一様的普遍的系を含むより一般的な近似設定において、ハウスドルフ次元および測度に関する古典的結果を拡張すること。
• $E_t$ と表される $t$-近似可能な点の集合が、適切なゲージ関数 $h$ に対してクラス $\mathrm{G}^{h}(\mathbb{R}^d)$ に属することを証明し、$g$ が $h$ より速く増加する場合には無限大の $g$-測度を持つことを示すこと。
• 本フレームワークを、分子・分母が素数である有理数や、桁の頻度が制限された数などの具体的な数論的設定に適用すること。

提案手法

• 本稿では、ボレル測度 $\mu$ および指数 $\alpha$ に関して非一様的普遍的系の概念を用い、中心が $x_i$ で半径が $r_i$ の球の $\mu$-質量が $r_i^\alpha$ のように振る舞うことを仮定する。
• 集合 $E_t = \{x \in \mathbb{R}^d \mid \|x - k - x_i\| < r_i^t \text{ となる } (i,k) \text{ が無限に多く存在する} \}$ を導入し、古典的な近似集合を一般化する。
• 主な技術的道具は、系の次元および増加条件に基づいて導かれるゲージ関数 $h_{\beta, \varphi}$ の構成であり、これによりクラス $\mathrm{G}^h(\mathbb{R}^d)$ が定義される。
• 補題を用いて、展開における桁の頻度または部分商の漸近的頻度に依存する、与えられた系における球の測度を制御する。
• 類似変換および可算交差に関して大交差クラスが不変であることに着目し、dyadic cube に基づく被覆議論と頻度条件を用いて証明を進める。
• 本フレームワークを三つの状況に適用する：分母・分子が素数である有理数、確率ベクトル $\pi$ によって制限された桁の頻度を持つ数、およびバーキホフ型条件を満たす部分商を持つ数。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、$\mathbb{R}^d$ 内の $t$-近似可能な点の集合 $E_t$ が、すべての $g \prec h$ に対して無限大のハウスドルフ $g$-測度を持つのか？
• RQ2 インデックス $i \in I^{\mu,\alpha}$ によって添え字づけられた球族が、測度 $\mu$ に関して非一様的普遍的系をなすのはいつか？
• RQ3 $E_t$ の大交差性は、半径 $r_i$ の増加率および中心 $x_i$ の分布にどのように依存するか？
• RQ4 大交差クラス $\mathrm{G}^h(\mathbb{R}^d)$ は、度合い論的数論における近似集合のサイズに関する古典的結果をどのように精緻化できるか？
• RQ5 桁の頻度または部分商の制約が、大交差クラスのためのゲージ関数 $h$ を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• $t > 1$ のとき、非一様的普遍的系の仮定の下で、$h = h_{\beta/t, 2\varphi + \phi/(1+d)}$ とすると、集合 $E_t$ はクラス $\mathrm{G}^{h}(\mathbb{R}^d)$ に属する。$t = 1$ のときには $h = h_{\beta, \varphi}$ となる。
• $g \prec h$ を満たす任意のゲージ関数 $g$ に対して、$E_t$ のハウスドルフ $g$-測度は無限大であり、これは度合い論的理論の意味で最大のサイズを示している。
• 分子・分母が素数である有理数による $\tau$-近似可能な数の集合 $J^\mathbb{P}_\tau$ に対しても結果が適用され、$\sum_q h(q^{-\tau}) q / (\log q)^2 = \infty$ を満たす $h$ に対して $\mathrm{G}^h(\mathbb{R})$ に属することが示された。
• 確率ベクトル $\pi$ によって制限された桁の頻度を持つ数に対しては、集合 $E^\mathrm{Dev}_t$ は $\mathrm{G}^{h_{\beta,\varphi}}((0,1)^d)$ に属し、$h_{\beta,\varphi}$ はエントロピーおよび頻度のずれに依存する。
• バーキホフ型条件を満たす部分商を持つ数に対しては、集合 $E^\mathrm{Bir}_t$ は $\mathrm{G}^{h_{\beta/t, 2\varphi + \phi}}((0,1)^d)$ に属し、$\phi$ はバーキホフ和の増加と関連する。
• 本フレームワークは、ジャルニクの定理やファルカーナーの大交差性に関する既存の結果を統一的かつ一般化し、近似集合のハウスドルフ測度および次元に関する結果を拡張する。