[論文レビュー] Uhlenbeck compactness for arbitrary $L^\infty$ connections and optimal regularity in General Relativity by the RT-equations

Moritz Reintjes, Blake Temple|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、微分可能多様体の接束、ならびにローレンツ時空を含む任意の $L^\infty$ 接続に対して、ウーレンベックのコンパクト性と最良の正則性を確立する。座標変換のヤコビアンを記述する楕円型偏微分方程式としての簡略化された RT 方程式を導入することで、任意の $L^\infty$ 接続が $L^\infty$ 曲率を持つ場合、$W^{1,p}$ 正則性へ滑らかにできることが証明され、一般相対性理論における古典的解（例えば測地線や局所慣性座標系）が衝撃波を越えて保たれることを保証する。

ABSTRACT

We resolve two problems in Mathematical Physics. First, we prove that any $L^{\infty}$ connection $\Gamma$ on the tangent bundle of an arbitrary differentiable manifold with $L^\infty$ Riemann curvature can be smoothed by coordinate transformation to optimal regularity, $\Gamma \in W^{1,p}$, (one derivative smoother than the curvature), any $p<\infty$. For Lorentzian metrics in General Relativity this implies that shock wave solutions of the Einstein-Euler equations are non-singular---geodesic curves, locally inertial coordinates and the Newtonian limit all exist in a classical sense. The proof is based on extending authors' existence theory for the RT-equations by one order, to the level of $L^{\infty}$ connections, and to accomplish this we introduce the $reduced$ RT-equations, a system of $elliptic$ partial differential equations for the Jacobians of the regularizing coordinate transformations. Secondly, we prove that this existence theory suffices to extend $Uhlenbeck$ $compactness$ from the case of connections on vector bundles over Riemannian manifolds (2019 Abel Prize and 2007 Steele Prize), to the case of connections on the tangent bundle of arbitrary differentiable manifolds, including Lorentzian manifolds of relativistic Physics. By this, Uhlenbeck compactness and optimal regularity are understood to be pure logical consequences of the rule which defines how connections transform from one coordinate system to another.

研究の動機と目的

• 任意の微分可能多様体、特にローレンツ時空を含む $L^\infty$ 接続の正則性とコンパクト性を解明すること。
• リーマン多様体上のベクトル束に対するウーレンベックのコンパクト性を、一般多様体上の接束へ拡張すること。
• アインシュタイン＝ユール方程式の衝撃波解が、測地線や局所慣性座標系といった古典的幾何的構造を有することを確立すること。
• 接続の最良正則性（$W^{1,p}$）が座標変換則の直接的結果であることを示すこと。
• RT 方程式の存在理論を $L^p$ から $L^\infty$ 接続へ一般化し、接続を曲率より1階高い正則性に滑らかにできるようにすること。

提案手法

• 正則化座標変換のヤコビアンを記述する楕円型偏微分方程式系（簡略化された RT 方程式）を導入し、$L^\infty$ 接続を正則化する。
• 楕円的推定を用いてヤコビアンの正則性を解析することで、RT 方程式の存在理論を $L^p$ から $L^\infty$ 接続へ拡張する。
• 接続の変換則を用いて、任意の $p<\infty$ に対して、変換後の接続が $W^{1,p}$ 正則性を達成する系を導出する。これは曲率より1階高い正則性である。
• 簡略化された RT 方程式の解の存在が、任意多様体上の接束接続に対してウーレンベックコンパクト性を示すことを証明する。
• コンパクト性および正則性の結果が、座標変換における接続の標準的変換則の論理的帰結であることを確立する。
• 理論をローレンツ多様体に適用し、アインシュタイン＝ユール方程式の衝撃波解が、古典的意味で幾何学的に正則なままであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の微分可能多様体上の $L^\infty$ 接続は、曲率が $L^\infty$ であっても、座標変換によって $W^{1,p}$ 正則性に正則化可能か？
• RQ2 リーマン多様体上のベクトル束に対するウーレンベックコンパクト性は、一般多様体上の接束、特にローレンツ時空に対しても拡張可能か？
• RQ3 RT 方程式は $L^\infty$ 情報設定へ拡張可能であり、接続の最良正則性を達成できるか？
• RQ4 接続の最良正則性（$W^{1,p}$）は、座標変換における接続の変換則の直接的結果か？
• RQ5 一般相対性理論における衝撃波解は、測地線や局所慣性座標系といった古典的幾何的構造を有するか？

主な発見

• 任意の微分可能多様体の接束上の $L^\infty$ 接続が $L^\infty$ 曲率を持つ場合、任意の $p<\infty$ に対して座標変換により $W^{1,p}$ 正則性に変換可能であり、これは曲率より1階高い正則性を達成する。
• 正則化座標変換のヤコビアンを記述する楕円型系（簡略化された RT 方程式）は、$L^\infty$ 情報設定において解を有することが示され、滑らか化結果が実現可能である。
• ウーレンベックコンパクト性は、任意の微分可能多様体（ローレンツ時空を含む）の接束接続へ拡張され、正則化座標の存在によって実現される。
• アインシュタイン＝ユール方程式の衝撃波解においても、局所慣性座標系や古典的測地線の存在が、接続の $W^{1,p}$ 正則性のおかげで保たれる。
• 最良正則性およびウーレンベックコンパクト性は、追加の幾何的仮定を設けず、標準的接続変換則の論理的帰結として導出される。
• 理論により、ニュートン極限および局所慣性座標系が、一般相対性理論における衝撃波が存在する状況でも、古典的意味で存在することが確認される。