[論文レビュー] Uhlenbeck spaces via affine Lie algebras

Alexander BRAVERMAN, Michael FINKELBERG+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2003

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、アフィンリー代数およびアフィンカク・ムーディ代数のカシワラのクリスタルの幾何的実現を用いて、直線に沿って自明化された $\mathbb{P}^2$ 上の $G$-バンドルのモジュライ空間のウーレンベックコンパクト化を構成する。主な貢献は、特徴零の状態における表現論とモジュライ幾何学の間の新しい関係を介して、ウーレンベック空間の交差コホモロジー層の茎を幾何的に記述することにある。

ABSTRACT

Let $G$ be an almost simple simply connected group over $\BC$, and let $\Bun^a_G(\BP^2,\BP^1)$ be the moduli scheme of principal $G$-bundles on the projective plave $\BP^2$, of second Chern class $a$, trivialized along a line $\BP^1\subset \BP^2$. We define the Uhlenbeck compactification $\fU^a_G$ of $\Bun^a_G(\BP^2,\BP^1)$, which classifies, roughly, pairs $(\F_G,D)$, where $D$ is a 0-cycle on $\BA^2=\BP^2-\BP^1$ of degree $b$, and $\F_G$ is a point of $\Bun^{a-b}_G(\BP^2,\BP^1)$, for varying $b$. In addition, we calculate the stalks of the Intersection Cohomology sheaf of $\fU^a_G$. To do that we give a geometric realization of Kashiwara's crystals for affine Kac-Moody algebras.

研究の動機と目的

• 直線 $\mathbb{P}^1$ 沿いに自明化された $\mathbb{P}^2$ 上の $G$-バンドルのモジュライ空間のウーレンベックコンパクト化 $\mathfrak{U}^a_G$ を定義・構成し、$SL_n$ を超えてドナルドソン＝ナカジマの枠組みを一般化すること。
• アフィンカク・ムーディ代数のカシワラのクリスタルをウーレンベック空間を用いて幾何的実現すること。
• 表現論的技法を用いて $\mathfrak{U}^a_G$ の交差コホモロジー層の茎を計算すること。
• 特徴零において、異なるモジュライ的記述の下での構成の不変性（nilpotentを除いて）を確立すること。

提案手法

• 各 $b \in \mathbb{N}$ に対して、$\mathfrak{U}^a_G$ を $\operatorname{Bun}^{a-b}_G(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^1) \times \operatorname{Sym}^b(\mathbb{A}^2)$ の和集合として構成し、$D$ を次数 $b$ の 0-サイクルとするペア $({\mathcal{F}}_G, D)$ をパラメトライズする。
• アフィンヴェルマ加群 $\mathcal{V}_{\check{\rho}}$ の最高重量ベクトルの構造を解析するため、普遍包あらゆる代数 $U({\mathfrak{n}}^{-})$ の標準的フィルトレーション $F^n$ を用いる。
• ジョゼフの補題を適用して、重み $w{\check{\rho}}$ の重み空間を生成する $F^n$ 内のベクトルの最小次数を評価し、$m_w \geq \frac{1}{2}\ell(w)$ を示す。
• リー代数の準同型 $\varphi: \mathfrak{g} \to C({\mathfrak{g}})$ を持つ $\mathfrak{g}$ 上のクライフォード代数 $C({\mathfrak{g}})$ を構成し、三角分解 $C({\mathfrak{n}}^{-}) \otimes C({\mathfrak{h}}) \otimes C({\mathfrak{n}}) \cong C({\mathfrak{g}})$ を得る。
• $\mathfrak{g}$-加群としての $C({\mathfrak{g}})/I({\mathfrak{g}})$ の構造を解析し、$\mathcal{V}_{\check{\rho}}$ を $I({\mathfrak{g}})$ が生成する左イデアルによる商として実現する。
• $\prod_{\check{\beta} \in S(w^{-1})} e_{-\check{\beta}}$ の $C({\mathfrak{g}})/I({\mathfrak{g}})$ 内の次数と $\ell(w)$ の関係を関係づけ、茎の計算に必要な主要な推定を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のほぼ単純で simply connected な群 $G$ に対して、$SL_n$ の場合を超えて、$\mathbb{C}$ 上の $G$-バンドルのウーレンベックコンパクト化をどのように構成できるか。
• RQ2 $\mathfrak{U}^a_G$ の交差コホモロジー層の茎を、表現論的データを用いて幾何的に計算できるか。
• RQ3 ウーレンベック型モジュライ空間を通じて、アフィンカク・ムーディ代数のカシワラのクリスタルに幾何的実現は存在するか。
• RQ4 標準的フィルトレーション $F^n$ が、アフィンヴェルマ加群 $\mathcal{V}_{\check{\rho}}$ の重み空間の構造をどのように制御するか。
• RQ5 $\mathfrak{g}$ 上のクライフォード代数の構成が、$C({\mathfrak{g}})/I({\mathfrak{g}})$ 内の重み空間分解の解析をどのように容易にするか。

主な発見

• ウーレンベック空間 $\mathfrak{U}^a_G$ は、$b \in \mathbb{N}$ に対する $\operatorname{Bun}^{a-b}_G(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^1) \times \operatorname{Sym}^b(\mathbb{A}^2)$ の和集合として構成され、$\mathbb{P}^1$ 沿いに自明化された $G$-バンドルのモジュライのモジュライ的コンパクト化を提供する。
• $\mathfrak{U}^a_G$ の交差コホモロジー層の茎は、アフィンカク・ムーディ代数のカシワラのクリスタルの幾何的実現を用いて計算され、モジュライ幾何学と表現論を結ぶ。
• ジョゼフの補題を用いた $U({\mathfrak{n}}^{-})$ の標準的フィルトレーションの解析により、重み $w{\check{\rho}}$ の重み空間を生成するベクトルの最小次数を $m_w \geq \frac{1}{2}\ell(w)$ と評価する主要な推定が確立された。
• クライフォード代数 $C({\mathfrak{g}})$ は三角分解 $C({\mathfrak{n}}^{-}) \otimes C({\mathfrak{h}}) \otimes C({\mathfrak{n}}) \cong C({\mathfrak{g}})$ を持つため、$C({\mathfrak{g}})/I({\mathfrak{g}})$ の構造を体系的に解析できる。
• $\mathcal{V}_{\check{\rho}}$ は $C({\mathfrak{g}})/I({\mathfrak{g}})$ の商として実現され、重み $w{\check{\rho}}$ の重み空間は $\left(\prod_{\check{\beta} \in S(w^{-1})} e_{-\check{\beta}}\right) C({\mathfrak{h}})$ に同型であり、その次数は $\ell(w)$ から $\ell(w) + \dim{\mathfrak{h}}$ の間にある。
• 構成は、$\mathfrak{U}^a_G$ の異なるモジュライ的記述に対して nilpotent を除いて不変であり、この不変性の証明は特徴零の仮定に依存しており、正の特徴零における可能性のある限界を示唆している。