[論文レビュー] Ulam-Hyers-Rassias stability for a class of fractional integro-differential equations

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Functional Equations Stability Results参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$ψ$-Hilfer分数階微分作用素とBanach固定点定理を用いて、有限区間および無限区間における分数量積分方程式のクラスのUlam-Hyers-Rassias安定性を調査する。主な貢献は、Ulam-Hyers、Ulam-Hyers-Rassias、および半Ulam-Hyers-Rassias安定性の十分条件を確立することであり、一般核関数を有するより広範な分数量方程式クラスへの安定性理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

By means of the recent $\psi$-Hilfer fractional derivative and of the Banach fixed-point theorem, we investigate stabilities of Ulam-Hyers, Ulam-Hyers-Rassias and semi-Ulam-Hyers-Rassias on closed intervals $[a,b]$ and $[a,\infty)$ for a particular class of fractional integro-differential equations.

研究の動機と目的

• 一般核を有する分数量積分方程式の安定性解析を、$ψ$-Hilfer微分作用素を用いて拡張すること。
• 有限区間および無限区間の両方において、Ulam-Hyers、Ulam-Hyers-Rassias、および半Ulam-Hyers-Rassias安定性を確立すること。
• 一般化された分数量微積分フレームワークにおける固定点理論を用いて、安定性の十分条件を提示すること。
• 非特異的および特異的核を有する分数量微分方程式の安定性理論におけるギャップを埋めること。

提案手法

• 関数$ψ$を用いて分数量微分作用素を一般化する$ψ$-Hilfer分数量微分作用素を採用する。
• $ψ$-Hilfer微分作用素とボルテラ型積分項を含む分数量積分方程式のクラスを定式化する。
• 適切なリプシッツ条件の下で、解の存在および一意性をBanach固定点定理を用いて証明する。
• 固定点フレームワークを用いて、摂動方程式の解との比較を通じて安定性推定を導出する。
• 固定点フレームワークを用いて、Ulam-Hyers、Ulam-Hyers-Rassias、および半Ulam-Hyers-Rassias安定性を定義する。
• 広範な適用性をカバーするため、コンパクト区間$[a,b]$および非有界区間$[a,∞)$の両方における安定性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数量積分方程式の解は、$[a,b]$および$[a,∞)$でいつUlam-Hyers安定となるか？
• RQ2 古典的分数量微分作用素と比較して、$ψ$-Hilfer微分作用素はシステムの安定性挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 本研究で提示された一般化された分数量モデルの文脈において、Ulam-Hyers-Rassias安定性の十分条件は何か？
• RQ4 同じクラスの方程式について、無限領域上でも半Ulam-Hyers-Rassias安定性を確立できるか？
• RQ5 $ψ$-Hilfer微分作用素における関数$ψ$の選択は、安定性結果にどのように依存するか？

主な発見

• Ulam-Hyers安定性は、$ψ$-Hilfer微分作用素を用いて、$[a,b]$および$[a,∞)$の両区間で確立された。
• 制御関数を含む一般化されたリプシッツ条件の下で、Ulam-Hyers-Rassias安定性が証明された。
• 非有界区間$[a,∞)$における方程式について、半Ulam-Hyers-Rassias安定性が得られ、従来の結果が拡張された。
• 安定性結果はBanach固定点定理を用いて導出され、解の一意性およびロバスト性が保証された。
• フレームワークは一般核関数$ψ$を用いた安定性解析を可能とし、多様な分数量モデルへの適用性が向上した。
• 解析により、安定性特性が有限および無限時間領域の両方で保存されることを確認した。