[論文レビュー] Ulrich Bundles on Projective Spaces

Zhiming Lin|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、射影空間 $\mathbb{P}^n$ 上の Ulrich バンドルが $\mathcal{O}(d)$ に関して自然コホモロジーを示し、$\Omega^j(j)$ でねじれた場合、すべての Ulrich バンドルが自明バンドル $\mathcal{O}$ のコピーのみを用いて分解可能であることを確立する。主な貢献は、$n \leq 3$ の場合の Ulrich バンドルの必要十分条件の特定であり、これにより $\mathbb{P}^3$ 上の $\mathcal{O}(2)$ に関してランク 2 のバンドルおよび $\mathbb{P}^2$ 上の $\mathcal{O}(3)$ に関してランク 3 のバンドルの新しい構成が可能になる。

ABSTRACT

We assume that $\mathcal{E}$ is a rank $r$ Ulrich bundle for $(P^n, \mathcal{O}(d))$. The main result of this paper is that $\mathcal{E}(i)\otimes Ω^{j}(j)$ has natural cohomology for any integers $i \in \mathbb{Z}$ and $0 \leq j \leq n$, and every Ulrich bundle $\mathcal{E}$ has a resolution in terms of $n$ of the trivial bundle over $P^n$. As a corollary, we can give a necessary and sufficient condition for Ulrich bundles if $n \leq 3$, which can be used to find some new examples, i.e., rank $2$ bundles for $(P^3, \mathcal{O}(2))$ and rank $3$ bundles for $(P^2, \mathcal{O}(3))$.

研究の動機と目的

• $\mathcal{O}(d)$ に関して $\mathbb{P}^n$ 上の Ulrich バンドルのコホモロジー的特徴づけを確立すること。
• すべての Ulrich バンドルが自明バンドル $\mathcal{O}$ のみを用いた分解をもつことを証明し、以前の結果を一般化すること。
• $n \leq 3$ の場合の Ulrich バンドルの必要十分条件を提供し、明示的構成を可能にすること。
• $\mathbb{P}^3, \mathcal{O}(2)$ に関してランク 2 の、$\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(3)$ に関してランク 3 の Ulrich バンドルの新しい例を構成すること。

提案手法

• $\mathcal{E}(i) \otimes \Omega^j(j)$ が任意の整数 $i$ および $0 \leq j \leq n$ に対して自然コホモロジーをもつことを、オイラー標跡の公式とボットの公式を用いて証明する。
• オイラー標跡に基づき、Ulrich バンドルの分解におけるベッチ数 $a_j$ を二項係数と $rd^n$ を用いて明示的な式で表す。
• 分解を用いて、Ulrich バンドルの存在を、特定のコホモロジー的性質をもつ写像 $\alpha: \mathcal{O}^{a_{j-1}}(-j+1) \to \mathcal{O}^{a_j}(-j)$ の存在に還元する。
• セール双対性を適用し、$H^n(\alpha(-d))$ の全射性条件を双対写像における単射性条件に翻訳し、写像の係数に関する線形方程式系を得る。
• 得られた線形方程式系を解くことにより明示的例を構成し、係数行列の行列式が非ゼロであることを保証する。
• コホモロジーの消滅基準を用いて、構成されたバンドルが Ulrich 条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $n$ と $d$ に対して、$\mathcal{O}(d)$ に関して $\mathbb{P}^n$ 上に最小ランクの Ulrich バンドルが存在するか？
• RQ2 $\mathcal{E}(i) \otimes \Omega^j(j)$ のコホモロジーが、そのオイラー標跡によって完全に決定可能か？
• RQ3 $n \leq 3$ の場合、ベクトルバンドルが Ulrich であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 $n=2,3$ および $d>1$ の場合、Ulrich バンドルの新しい例を明示的に構成可能か？
• RQ5 $\mathbb{P}^n$ 上の任意の Ulrich バンドルが、自明バンドル $\mathcal{O}$ のみを用いて分解可能か？

主な発見

• $\mathcal{O}(d)$ に関して $\mathbb{P}^n$ 上のすべての Ulrich バンドル $\mathcal{E}$ は、任意の $i \in \mathbb{Z}$ および $0 \leq j \leq n$ に対して $\mathcal{E}(i) \otimes \Omega^j(j)$ が自然コホモロジーをもつ。
• $\mathcal{E}(i) \otimes \Omega^j(j)$ のオイラー標跡は $\chi = rd^n \sum_{k=0}^j (-1)^{j-k} \binom{n+1}{k} \binom{\frac{i+j-k}{d} + n}{n}$ で与えられる。
• $\mathcal{O}(d)$ に関してランク $r$ の Ulrich バンドル $\mathcal{E}$ は、$0 \to \mathcal{O}^{a_n}(-n) \to \cdots \to \mathcal{O}^{a_1}(-1) \to \mathcal{E}(-d) \to 0$ の形の分解をもつ。ここで $a_j = -rd^n \sum_{k=0}^j (-1)^{j-k} \binom{n+1}{k} \binom{\frac{j-k}{d} + n - 1}{n}$ である。
• $n \leq 3$ の場合、分解とコホモロジーの消滅に基づき、バンドルが Ulrich であるための必要十分条件が導かれる。これにより明示的分類が可能になる。
• $\mathbb{P}^3$ 上の $\mathcal{O}(2)$ に関してランク 2 の新しい Ulrich バンドルが、行列式が非ゼロである係数行列 $C$ をもつ写像 $\alpha: \mathcal{O}^3(-2) \to \mathcal{O}^6(-1)$ を用いて構成される。このとき $\det(C) = 4 \neq 0$ である。
• $\mathbb{P}^2$ 上の $\mathcal{O}(3)$ に関してランク 3 の新しい Ulrich バンドルは、方程式系 $\delta(f) = 0$ を解き、$\det(C) \neq 0$ を確認することにより構成され、$d=3$ に対する最初の明示的例が得られる。