[論文レビュー] Ulrich ideals and modules over two-dimensional rational singularities

Shirô Gotô, Kazuho Ozeki+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元Gorenstein有理特異点（有理二重特異点）におけるUlrichイデアルおよびUlrich加群を、弱特別および特別Cohen–Macaulay加群を導入することで分類し、UlrichイデアルがちょうどUlrich加群を許容するイデアルに一致することを確立する。主な結果として、解体グラフにおける特別サイクルを用いたUlrichイデアルの完全分類が得られ、非Gorensteinな巡回商特異点では、最大イデアル以外にUlrichイデアルは存在しないことが示される。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to classify Ulrich ideals and Ulrich modules over two-dimensional Gorenstein rational singularities (rational double points) from a geometric point of view. To achieve this purpose, we introduce the notion of (weakly) special Cohen-Macaulay modules with respect to ideals, and study the relationship between those modules and Ulrich modules with respect to good ideals.

研究の動機と目的

• 2次元Gorenstein有理特異点におけるUlrichイデアルおよびUlrich加群を幾何的視点から分類すること。
• Ulrich加群を特徴付けるための道具として、イデアルに関しての弱特別および特別Cohen–Macaulay加群を導入し、それらを研究すること。
• イデアルがUlrichであるための条件を、特にUlrich加群の存在に関連して特定すること。
• Gorensteinでない場合へのUlrichイデアルの分類を拡張すること、特に非Gorenstein有理特異点に対して行うこと。
• 最小解体の双対グラフおよび特別サイクルを用いた、Ulrichイデアルの幾何的基準を提供すること。

提案手法

• イデアルIに関して定義される弱特別Cohen–Macaulay加群の概念を導入する。これはμ(M) = 2·rank(M) かつ M/IM がA/I上自由であることで特徴づけられる。
• Gorenstein局域整域に対して、イデアルIがUlrichであるための必要十分条件として、Iに関して弱特別Cohen–Macaulay加群が存在することを証明する。
• Extの消失とM/IMの自由性を用いて特別Cohen–Macaulay加群を定義し、Wunramの概念を一般化する。
• 特異点の最小解体の双対グラフを用いて特別サイクルを特徴付け、それらをUlrichイデアルに関連付ける。
• 有限CM表現型およびシンギュラリティのコホホモロジー理論を用いて、有理二重特異点上のUlrich加群を分析する。
• 巡回商特異点や有理三重特異点などの具体的な例を用いて、分類の妥当性を検証し、理論を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元Gorenstein有理特異点におけるどのイデアルがUlrichイデアルか？
• RQ2 解体グラフおよび特別サイクルを用いた場合、Ulrichイデアルの幾何的特徴づけは何か？
• RQ3 特別Cohen–Macaulay加群は、Ulrich加群およびUlrichイデアルとどのように関係するか？
• RQ4 非Gorenstein有理特異点では、最大イデアル以外にUlrichイデアルは存在するか？
• RQ5 イデアルIに関してUlrich加群が存在することを用いて、IがUlrichイデアルであることを特徴づけられるか？

主な発見

• 2次元Gorenstein有理特異点におけるUlrichイデアルは、解体グラフ内の特別サイクルとちょうど一対一対応する。
• A_n型の有理二重特異点では、(x,y^m,z)から(x,y,z)まで、長さ⌈n/2⌉のUlrichイデアルの鎖が存在する。
• nがq+1を割り切らない型1/n(1,q)の非Gorenstein巡回商特異点では、最大イデアルが唯一のUlrichイデアルである。
• 有理三重特異点A = k[[T, sT^a, s^{-1}T^b, (s+1)^{-1}T^c]]において、I_k = (t^k, x, y, z) はcolength kのUlrichイデアルである（1 ≤ k ≤ c）。
• A = k[[s^7, s^4t, st^2, t^7]]の例では、Iに関して特別Cohen–Macaulay加群はM_2の直和で表されるが、すべてのUlrich加群がこの形で得られるわけではない。
• 同じ例において、サイクルZ_1 = E_1 + 2E_2 + E_3 はUlrichサイクルでない。これは、すべての特別サイクルがUlrichでないことを示している。