[論文レビュー] Ultracompanions of subsets of a group

Ігор Протасов, Serhii Slobodianiuk|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、離散群のストーン＝チェホフコン pactification βG における超フィルターから導かれる特定の部分集合としての超同伴（ultracompanions）を導入し、その性質を特徴づける。主な目的は、スパarsity（疎らかさ）および非スパarsity（非疎らかさ）の部分集合を分類する際における超同伴の役割に注目することである。主な貢献は、トポロジー的および代数的性質を用いて、大集合、厚集合、前厚集合、小集合、薄集合といった基本的クラスの部分集合を超同伴によって特徴づけることであり、組合せ的群論と βG における超フィルター力学の間の関係を結ぶ。

ABSTRACT

Let $G$ be a group, $βG$ is the Stone-$\check{C}$ech compactification of $βG$ endowed with the structure of a right topological semigroup, $G^*=βG\setminus G$. Given any subset $A$ of $G$ and $p\in G^*$, we define the $p$-companion $\vt_p(A)=A^*\cap Gp$ of $A$, and characterize the subsets with finite and discrete ultracompanions.

研究の動機と目的

• 群 G の部分集合 A と G* に属する超フィルター p に対して、Δp(A) = A* ∩ Gp として p-同伴を定義し、その分析を行う。
• ストーン＝チェホフコン pactification βG において、超同伴を用いて、大集合、厚集合、前厚集合、小集合、薄集合といった基本的クラスの部分集合を特徴づける。
• 特にトポロジー的および代数的力学的性質と関連して、スパarsity および非スパarsity の部分集合の構造的性質を、それらの超同伴を通じて調査する。
• 超同伴と、漸近的散乱性、バナッハ測度、および群論における組合せ的微分といった概念との関係を探索する。

提案手法

• 群 G の部分集合 A ⊆ G に対して、βG の右位相的半群構造を用いて、Δp(A) = {gp ∈ Gp : A ∈ gp} として p-同伴を定義する。
• βG の普遍拡張性質を用いて、群演算を超フィルターへ拡張し、超フィルター積および同伴の定義を可能にする。
• 特にその有限性、離散性、またはコンパクト性に注目して、βG 内の位相的および集合論的技法を用いて Δp(A) の構造を分析する。
• 組合せ的性質（例えば、大集合性、厚さ）と、Gp における超同伴像の条件との間の同値性を確立する。
• 病理的ケース（例えば、絶対的零測度でない非スパarsity集合）を分析するため、超フィルター極限および自由超フィルターの性質を用いる。
• トポロジー的および測度論的議論を用いて、超同伴を漸近的散乱性、σR-不変性といった概念と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた部分集合 A ⊆ G および p ∈ G* に対して、超同伴 Δp(A) が有限または離散となるのはいつか？
• RQ2 超同伴は、群における大集合、厚集合、薄集合といった古典的クラスの部分集合をどのように特徴づけるか？
• RQ3 アメニタリー群の任意の非スパarsity部分集合は、常に絶対的零測度（すなわち、バナッハ測度がゼロ）であるのだろうか？
• RQ4 各 Δp(A) が散乱的であるような超散乱的部分集合（ultrascattered subsets）と、弱漸近的散乱的部分集合との関係は何か？
• RQ5 非スパarsity部分集合 A および p ∈ G* に対して、集合 Δp(A) が一様離散となるのはどのような条件下か？

主な発見

• 部分集合 A ⊆ G が大集合であるための必要十分条件は、すべての p ∈ G* に対して Gp = Δp(FA) を満たす有限集合 F ⊆ G が存在することである。
• 部分集合 A ⊆ G が厚集合であるための必要十分条件は、ある p ∈ G* が存在して Δp(A) = Gp を満たすことである。
• 部分集合 A ⊆ G が薄集合であるための必要十分条件は、すべての p ∈ G* に対して |Δp(A)| ≤ 1 が成り立つことである。
• 部分集合 A ⊆ G が小集合であるための必要十分条件は、すべての有限集合 F ⊆ G およびすべての p ∈ G* に対して Δp(FA) ≠ Gp が成り立つことである。
• G が非可算であり、|G| > (κ⁺)^ℵ₀ であるならば、G は κ 個のスパarsity部分集合に分割できない。これは、大きな群におけるスパarsity分割の上限を示している。
• Z の中には、絶対的零測度でない非スパarsity部分集合が存在する。バナッハ測度と超フィルター極限を用いた反例により、スパarsity と絶対的零測度の関係の一般化は成り立たないことが反証された。