[論文レビュー] Ultradifferentiable CR manifolds

Stefan Fürdös|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 34被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、重み列によって定義されるDenjoy-Carlemanクラスを用いて、ultradifferentiable CR多様体を導入し、その上での有限非退化CR写像が、被覆多様体が形式的になおかつ正則的非退化である場合、クラス{M}のultradifferentiableであることを確立している。主な結果は、微局所解析とほぼ正則拡張を用いてLamelの正則性定理をultradifferentiable設定へ拡張し、多様体が擬代数的かつ形式的になおかつ正則的非退化であるとき、楔へ微局所に拡張できる滑らかなCR微分同相写像が、クラス{M}のultradifferentiableであることを証明している。

ABSTRACT

Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Untersuchung der Regularität von CR Abbildungen zwischen ultradifferenzierbaren CR Mannigfaltigkeiten. Ultradifferenzierbar ist hier im Sinne von Denjoy-Carleman Klassen gemeint, d.h. von Teilalgebren glatter Funktionen die durch Gewichtsfolgen definiert werden. Es werden hier hauptsächlich Denjoy-Carleman Klassen betrachtet, die (durch im Sinne von Dyn'kin reguläre) Gewichtsfolgen definiert sind. Insbesondere werden Reflektionsprinzipe von Lamel und Berhanu-Xiao für endlich nichtdegenerierte CR Abbildungen in die ultradifferenzierbare Kategorie verallgemeinert. Genauer wird gezeigt, dass jede endlich nichtdegenerierte CR Abbildung zwischen zwei ultradifferenzierbaren CR Mannigfaltigkeiten von derselben Denjoy-Carleman Klasse, die nahe eines Punktes eine holomorphe Ausdehnung in einen Wedge besitzt, nahe dieses Punktes ultradifferenzierbar von der gleichen Regularität wie die Mannigfaltigkeiten ist. Für den Beweis der obigen Aussage wird eine geometrische Theorie der ultradifferenzierbaren Wellenfrontmenge im Sinne von Denjoy-Carleman Klassen, welches ursprünglich von Hörmander definiert wurde, für reguläre Gewichtsfolgen entwickelt. Insbesonders wird ein Satz von Dyn'kin über die Charakterisierung von Elementen regulärer Denjoy-Carleman Klassen durch fast-analytische Ausdehnungen verwendet, um die Charakterisierung der ultradifferenzierbaren Wellenfrontmenge durch fast-analytische Ausdehnungen in flache Wedges bzw. durch die verallgemeinerte FBI Transformation im Sinne von Berhanu-Hounie zu zeigen. Dies erlaubt die invariante Definition der ultradifferenzierbare Wellenfrontmenge auf ultradifferenzierbare Mannigfaltigkeiten der selben Denjoy-Carleman Klasse zu geben. Weiters wird ein Satz über ultradifferenzierbare mikrolokale elliptische Regularität für vektorwertige Distributionen und Differentialoperatoren mit ultradifferenzierbaren Koeffizienten bewiesen, was Resultate von Hörmander, Albanese-Jornet-Oliaro und anderen verallgemeinert. Weiters werden die oben genannten Resultate für die ultradifferenzierbare Wellenfrontmenge dazu verwendet die Aussagen von Fürdös-Lamel bezüglich der Regularität von infinitesimalen CR Automorphismen auf abstrakten CR Mannigfaltigkeiten in die ultradifferenzierbare Kategorie zuverallgemeinern. Als weitere direkte Anwendung der mikrolokalen Techniken werden quasianalytische Verallgemeinerungen von Resultaten von Holmgren, Hörmander, Bony und Zachmanoglou über die Eindeutigkeit von Lösungen homogener Gleichungen gegeben.

研究の動機と目的

• smoothおよび実解析的設定から、Denjoy-Carlemanクラスによって定義されるultradifferentiable設定へのCR写像の正則性理論を拡張すること。
• 適切な非退化性条件の下で、ultradifferentiable CR多様体間の有限非退化CR写像が、クラス{M}のultradifferentiableであることを確立すること。
• 抽象的なultradifferentiable CR多様体上の無限小CR自己同型のultradifferentiable正則性を調査すること。
• ほぼ正則拡張を用いて、ultradifferentiable多様体上のultradifferentiable波面集合の微局所枠組みを構築すること。

提案手法

• 重み列M = (mj)jを用いた一般化されたコーシー推定を用いてultradifferentiable関数を定義し、Denjoy-Carlemanクラス{M}を導出する。
• Dyn'kinによるほぼ正則拡張によるultradifferentiable関数の特徴付けを用いて、ultradifferentiable多様体上の分布uに対して、ultradifferentiable波面集合WFM(u)を定義する。
• LamelおよびBerhanu-Xiaoが適応したM-ほぼ正則な陰関数定理のバージョンを適用し、ultradifferentiable圏における正則性を証明する。
• 行列式Λ(α,r)を用いた乗数法を用いて、CR多様体の正則性およびCRベクトル場の挙動を分析する。
• 形式的正則的非退化性条件を用いて、非自明な乗数の存在を保証し、その乗数を用いて、λ·Xjのultradifferentiabilityからベクトル場Xj自体のultradifferentiabilityへの正則性の伝播を実現する。
• 滑らかなCR微分同相写像が多様体Mを境とする楔へ微局所に拡張できる場合、Mが形式的になおかつ正則的非退化であり、かつ擬代数的であるならば、その微分同相写像はクラス{M}のultradifferentiableであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Denjoy-Carleman列によって定義されるultradifferentiableクラスへの有限非退化CR写像の正則性は、smoothおよび実解析的カテゴリーから拡張可能か。
• RQ2 CR写像が楔へ微局所に拡張される場合、それがクラス{M}のultradifferentiableであることを示す条件は何か。
• RQ3 ultradifferentiable多様体上のultradifferentiable分布への波面集合の概念をどのように一般化できるか。
• RQ4 形式的正則的非退化性が、無限小CR自己同型のultradifferentiable正則性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 ultradifferentiable正則性の結果は、擬代数的重み列に対して安定的か。また、擬代数的性質が正則性の伝播をどのように促進するか。

主な発見

• 被覆多様体が形式的になおかつ正則的非退化である場合、クラス{M}のultradifferentiable CR多様体間の有限非退化CR写像は、クラス{M}のultradifferentiableであることが示された。
• 重み列Mが正則であるとき、ultradifferentiable多様体上の分布uに対して、ultradifferentiable波面集合WFM(u)は適切に定義される。
• 擬代数的設定下で点p0に非自明な形式的べき級数乗数が存在することは、p0近傍における滑らかなCRベクトル場がクラス{M}のultradifferentiableであることを保証する。
• 証明は、M-ほぼ正則な陰関数定理に依拠しており、λ·Xjの形式的べき級数がultradifferentiableであるならば、λがp0で非自明なテイラー級数を持つ場合、Xj自体がultradifferentiableであることが示される。
• 擬代数的多様体において、楔を境とする微局所に拡張できる滑らかなCR微分同相写像は、Mが形式的になおかつ正則的非退化であれば、クラス{M}のultradifferentiableである。
• CR多様体の構造方程式から得られる行列式Λ(α,r)は、CR正則性の検証および乗数法による写像の挙動分析の主要な道具である。