[論文レビュー] Ultrametric pseudodifferential operators and wavelets for the case of non homogeneous measure

С. В. Козырев|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2004

advanced mathematical theories参考文献 12被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、非一様測度を伴う超距離空間上の $ L^2(X,\nu) $ において、正規直交基底としての超距離ウェーブレットを導入し、形式 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ の擬微分作用素（PDO）がこれらの基底で対角化されることを証明する。主な貢献は、球の測度と核関数 $ T^{(I)} $ を用いて、このような PDO の固有値を明示的な式で与えることであり、従来の結果を非一様測度へ一般化する。

ABSTRACT

A family of orthonormal bases of ultrametric wavelets in the space of quadratically integrable with respect to arbitrary measure functions on general (up to some topological restrictions) ultrametric space is introduced. Pseudodifferential operators (PDO) on the ultrametric space are investigated. We prove that these operators are diagonal in the introduced bases of ultrametric wavelets and compute the corresponding eigenvalues. Duality between ultrametric spaces and directed trees is discussed. In particular, a new way of construction of ultrametric spaces by completion of directed trees is proposed.

研究の動機と目的

• 非一様測度（球の測度が等しくない場合）における超距離擬微分作用素（PDO）理論を一般化すること。
• 超距離空間 $ X $ 上の $ L^2(X,\nu) $ において、これらの PDO を対角化する正規直交基底としての超距離ウェーブレットを構成すること。
• 超距離空間と有向木の間の双対性を確立し、完成による超距離空間の新規構成法を提案すること。
• ウェーブレット基底における PDO の固有値を計算し、$ p $-進および一様的状況からの結果を拡張すること。

提案手法

• 完全な超距離空間 $ X $ における球の包含構造から有向木 $ \mathcal{T}(X) $ を定義し、$ X \cup \mathcal{T}(X) $ 上に部分順序を導入する。
• 球およびその部分球の特性関数を用いて、測度の正規化により直交性を保証する $ L^2(X,\nu) $ 上の正規直交ウェーブレット基底 $ \psi_{Ij} $ を構成する。
• 核関数 $ T^{(I)} $ が有向木 $ \mathcal{T}(X) $ 上の関数であるとき、$ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ として擬微分作用素 $ T $ を定義する。
• 級数が絶対収束する条件下で、ウェーブレット $ \psi_{Ij} $ が $ T $ の固有関数であることを証明し、固有値を $ \lambda_I = T^{(I)}\nu(D_I) + \sum_{J>I} T^{(J)}(\nu(D_J) - \nu(D_{J-1,I})) $ と与える。
• 超距離空間と有向木の双対性を用いて、木上の部分順序から誘導される距離を定義し、このような木の完成として超距離空間を構成する。
• 関数 $ T^{(I)} $ が実数値であれば、作用素 $ T $ が自己随伴であり、定数関数を零化することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度 $ \nu $ が非一様的（すなわち、球の測度が任意の正の数である）場合、$ L^2(X,\nu) $ における正規直交基底としての超距離ウェーブレットをどのように構成できるか。
• RQ2 擬微分作用素 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ が超距離ウェーブレット基底で対角化されるための条件は何か。
• RQ3 このような PDO の固有値の明示的公式は、測度 $ \nu $ と核関数 $ T^{(I)} $ を用いてどのように表せるか。
• RQ4 部分順序から誘導される距離を用いて、有向木から超距離空間を体系的にどのように構成できるか。
• RQ5 限界 $ \lim_{J \to \infty} \left( \frac{1}{\nu(D_I)} - \frac{1}{\nu(D_J)} \right) $ が、ウェーブレット基底におけるパーセバルの恒等式を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 任意の $ \sigma $-加法的かつ可算基底を持つ測度 $ \nu $ を持つ完全な超距離空間 $ X $ 上で、非一様測度への一般化を含む正規直交基底としての超距離ウェーブレット $ \psi_{Ij} $ が構成された。
• 級数が絶対収束する限り、擬微分作用素 $ Tf(x) = \int T^{(\text{sup}(x,y))}(f(x)-f(y))\,d\nu(y) $ はウェーブレット基底で対角化され、固有値は $ \lambda_I = T^{(I)}\nu(D_I) + \sum_{J>I} T^{(J)}(\nu(D_J) - \nu(D_{J-1,I})) $ で与えられる。
• 作用素 $ T $ は定数関数を零化するため、差分型作用素としての性質が確認された。
• ウェーブレット基底はパーセバルの恒等式を満たし、有限限界 $ A $ の場合、$ \widetilde{\chi}_I $ のノルムは $ \nu^2(D_I) \left( \frac{1}{\nu(D_I)} - \frac{1}{A} \right) $ として計算される。恒等式は定数ノルム項を加えることで回復される。
• 有向木の完成による超距離空間の構成法が有効であることが示され、木上の部分順序から誘導される距離が成立する。
• 超距離空間と有向木の双対性が形式化され、木構造が球の包含関係を符号化し、作用素核 $ T^{(I)} $ の定義を可能にする。