[論文レビュー] Umbral calculus and Euler polynomials

Dae San Kim, Taekyun Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2012

Advanced Mathematical Identities被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ウムブラル代数を用いて、オイラー多項式およびその高階版に関する新しい恒等式を導出する。生成関数、線形汎関数、ウムブラル代数における作用的計算を活用することで、オイラー多項式および s 階のベルヌーイ多項式を高階オイラー多項式の線形結合として表す明示的な展開公式を確立し、微分作用素およびシフト作用素を用いた係数抽出により、新しい組合せ的恒等式を得る。

ABSTRACT

In this paper, we study some properties of Euler polynomials arising from umbral calculus. Finally, we give some interesting identities of Euler polynomials using our results. Recently, Dere and Simsek have studied umbral calculus related to special polynomials (see[6]).

研究の動機と目的

• ウムブラル代数の枠組みを用いて、オイラー多項式の構造的性質を調査すること。
• 高階オイラー多項式を用いて、r 階のオイラー多項式の明示的展開公式を導出すること。
• この手法を拡張し、s 階のベルヌーイ多項式を高階オイラー多項式の線形結合として表現すること。
• 微分作用素およびシフト作用素を用いたウムブラル代数における、展開係数を計算する体系的な作用的手法を確立すること。

提案手法

• 形式的べき級数 t が多項式上に線形汎関数として作用するウムブラル代数の構造を用い、ペアリング $<f(t) | p(x)>$ を定義する。
• 生成関数 $ \frac{2}{e^t + 1} e^{xt} = \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!} $ を用いて、オイラー多項式およびその高階版を定義する。
• 作用的恒等式 $ t^k p(x) = p^{(k)}(x) $ およびシフト作用素 $ e^{yt} p(x) = p(x+y) $ を用いて、多項式列を操作する。
• 特に $ g(t) $ および $ f(t) $ に関連するシーファー列の形式的記法を用い、係数の公式を導出する。
• 係数抽出に用いる恒等式 $ <(e^t + 1)^r t^k | p(x)> = \sum_{l=0}^r \binom{r}{l} p^{(k)}(l) $ を適用する。
• 展開係数を $ b_k^r = \frac{1}{2^r k!} \sum_{l=0}^r \binom{r}{l} p^{(k)}(l) $ を用いて導出し、任意の多項式を高階オイラー多項式の基底で表現可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウムブラル代数を体系的に応用して、オイラー多項式の新しい恒等式を導出するにはどうすればよいか？
• RQ2 高階オイラー多項式 $ E_k^{(r)}(x) $ を用いて、$ E_n(x) $ の明示的展開はどのように表せるか？
• RQ3 s 階のベルヌーイ多項式を高階オイラー多項式の線形結合として表現できるか？
• RQ4 微分作用素およびシフト作用素を用いた、このような展開における係数の作用的公式は何か？
• RQ5 恒等式 $ E_n^{(r)}(x+1) + E_n^{(r)}(x) = 2E_n^{(r-1)}(x) $ は、ウムブラル代数の枠組みにおける広範な構造とどのように関係しているか？

主な発見

• 本稿では、高階オイラー多項式を古典的オイラー多項式の線形結合として表す恒等式 $ E_n^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} E_{n-k}^{(r-1)} E_k(x) $ を導出する。
• 古典的オイラー多項式を高階オイラー多項式の基底で展開する新しい公式 $ E_n(x) = \frac{1}{2^r} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( \sum_{l=0}^r \binom{r}{l} E_{n-k}(l) \right) E_k^{(r)}(x) $ を確立する。
• 任意の多項式 $ p(x) \in \mathbb{P}_n $ に対して、展開 $ p(x) = \sum_{k=0}^n b_k^r E_k^{(r)}(x) $ が成り立ち、係数 $ b_k^r = \frac{1}{2^r k!} \sum_{l=0}^r \binom{r}{l} p^{(k)}(l) $ が得られる。ここで $ p^{(k)}(l) $ は l における k 階微分を表す。
• ベルヌーイ多項式と高階オイラー多項式との直接的な関係を示す恒等式 $ B_n^{(s)}(x) = \frac{1}{2^r} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( \sum_{l=0}^r \binom{r}{l} B_{n-k}^{(s)}(l) \right) E_k^{(r)}(x) $ を導出する。
• 集合 $ \{E_0^{(r)}(x), \dots, E_n^{(r)}(x)\} $ が空間 $ \mathbb{P}_n $ の基底をなすことが確認され、任意の多項式が一意に表現可能であることが示される。
• スケーリングの性質を示す作用的恒等式 $ E_n(\alpha x) = \alpha^n \frac{g(t)}{g(t/\alpha)} E_n(x) $ が $ g(t) = \frac{1}{2}(e^t + 1) $ を用いて確立される。