[論文レビュー] Umbral methods and operator ordering

D. Babusci, G. Dattoli|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Manufacturing Process and Optimization参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ウムブラ記法と擬似指数関数的作用素（PEOs）を用いた新しい形式的枠組みを導入し、量子力学および量子場理論における作用素の順序付けを簡略化・一般化する。作用素関数をウムブラ記法による形式的べき級数として取り扱うことで、指数関数的作用素の性質を活用し、非可換作用素の体系的な操作が可能となり、発展方程式や積分変換に対して閉形式の解が得られる。

ABSTRACT

By using methods of umbral nature, we discuss new rules concerning the operator ordering. We apply the technique of formal power series to take advantage from the wealth of properties of the exponential operators. The usefulness of the obtained results in quantum field theory is discussed.

研究の動機と目的

• ウムブラ記法を用いて、量子力学における作用素の順序付けの体系的枠組みを構築すること。
• 形式的べき級数を介して、指数関数的作用素技法を非可換作用素へ一般化すること。
• この形式的枠組みを用いて、量子発展方程式を解き、特殊関数の新しい恒等式を導出すること。
• 積分変換（ラプラス変換およびフーリエ変換を含む）とこの手法を結びつけ、より広範な適用可能性を確保すること。
• PEOsを用いて一般化された両生性状態およびエルミート量子状態を構成する有効性を示すこと。

提案手法

• ウムブラ記法を用いて形式的べき級数を定義：$ f(x) = \mathrm{e}^{\hat{c}x} $、ここで $ \hat{c}^n = c_n $ であり、作用素関数の表現が可能になる。
• 擬似指数関数的作用素（PEOs）を $ \hat{F} = \mathrm{e}^{\hat{c} \hat{O}} $ として導入し、指数関数的恒等式を用いて作用素関数の操作を可能にする。
• 微分作用素 $ \partial_x $、$ x\partial_x $、$ x^2\partial_x $ にこの手法を適用し、シフト、スケーリング、射影変換の法則を導出する。
• フーリエ変換およびラプラス変換をPEOsと併用し、積分変換を一般化し、新しい恒等式を導出する。
• PEOsを用いて特殊状態（例えば、エルミート量子状態）を構成し、非直交性および重なり性の性質を導出する。
• ラゲール微分作用素の固有関数を用いて、擬似熱方程式などの偏微分方程式を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウムブラ記法を用いることで、標準的な指数関数的作用素技法を超えた作用素の順序付けをどのように一般化できるか？
• RQ2 非可換作用素に適用する際の、擬似指数関数的作用素（PEOs）の代数的および操作的法則は何か？
• RQ3 PEOsを用いて、微分作用素を含む量子発展方程式に対して閉形式の解を得られるか？
• RQ4 特殊関数の文脈において、PEOsはフーリエ変換およびラプラス変換などの積分変換とどのように関係するか？
• RQ5 エルミート量子状態などのPEOsを用いて構成された状態の構造的および物理的性質は何か？

主な発見

• PEO形式的枠組みにより、発展方程式 $ \Psi(x,\delta) = \mathrm{e}^{\delta \hat{c} \partial_x^2} \mathrm{e}^{-x^2} $ の解が $ \Psi(x,\delta) = \frac{1}{\sqrt{1+4\delta\hat{c}}} \exp\left(-\frac{x^2}{1+4\delta\hat{c}}\right) $ として得られ、これはラゲール多項式に展開される。
• 擬似熱方程式 $ \partial_t t \partial_t F = -\partial_x^2 F $ の解は $ F(x,t) = C_0(t \partial_x^2) g(x) = \mathrm{e}^{-\hat{c} t \partial_x^2} g(x) $ であり、$ C_0 $ はベッセル＝トリコミ関数である。
• 関数 $ g(x) = x^m $ の解は、エルミート多項式とラゲール多項式の中間的な性質を持つハイブリッド多項式 $ {}_L H_m(x,-t) = m! \sum_{k=0}^{[m/2]} \frac{(-t)^k x^{m-2k}}{(k!)^2 (m-2k)!} $ を与える。
• エルミート量子状態 $ |h_n\rangle $ は $ H_n(\Omega^* \hat{c} \hat{a}^+, |\Omega|^2/2) |0\rangle $ として構成され、非直交性を示し、フォック状態との重なり性が明確に特定される。
• 恒等式 $ \frac{1}{(1+\hat{c}x)^\nu} = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \int_0^\infty e^{-s} f(-s x) s^{\nu-1} ds $ は、PEOsを用いてラプラス変換およびメリン変換を一般化する。
• 係数 $ c_n = \frac{(-1)^n}{(m n + p)!} $ の場合、PEOにより $ \frac{1}{(1+\hat{c}x)^\nu} = \frac{1}{\Gamma(\nu)} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^k}{k! (m k + p)!} \Gamma(k + \nu) $ が得られ、新しい級数表現が得られる。