[論文レビュー] Un critère d'extension d'un foncteur défini sur les schémas lisses

Francisco Guillén, Vicente Aznar|ArXiv.org|May 5, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、特徴値がゼロの体上の滑らかないスキームに定義された反変ファンクターを、その体上のすべての分離的かつ有限型スキームへ拡張する一般的基準を確立する。この拡張にはヒロナカの特異点解消とホモトピー的降下条件を用いる。主な結果は、ファンクターが吹き上げ（blow-up）に関してある特定の準同型条件（'吹き上げ完全列'）を満たす場合、そのファンクターはアーベル圏の導来圏へ一意に拡張され、その拡張はコhomological降下性質を満たすということである。

ABSTRACT

Let $k$ be a field of characteristic zero. By using Hironaka's desingularisation theorem, we prove an extension criterion for a functor defined on nonsingular k-schemes and taking values on a category of complexes. Roughly speaking, the criterion shows that if such a functor satisfies the standard exact sequence of a blowing-up, then the functor can be extended to all separated k-schemes of finite type. The result is applied to the Grothendieck's theory of motives, to the Hodge-De Rham filtered complex of an analytic space, and to the rational homotopy of k-schemes in algebraic De Rham theory.

研究の動機と目的

• 特徴値がゼロの体上の滑らかなスキームに定義されたコホモロジカルファンクターを、その体上のすべての分離的かつ有限型スキームへ拡張する一般的基準を提供すること。
• 特異点解消を用いて、古典的コホモロジカル拡張（例えば、デ・ラーム、ホッジ＝デリーニ）を滑らかでない設定へ一般化すること。
• 微分的可換代数やモチーフの文脈のような非加法的状況において、新しい「降下圏」の概念を用いてファンクターを拡張する枠組みを構築すること。
• この基準を用いて、複素解析的空間のフィルトレーテッドホッジ＝デ・ラーム複体とコンパクト-suppot付きモチーフ的ファンクターを構成すること。
• セールのモチーフのグロチンデック環におけるオイラー乗数の独立性に関する問いを、グロチンデック理論を拡張する2つのモチーフ的ファンクター h と h_c の構成によって肯定的に解決すること。

提案手法

• 著者たちは、微分的可換代数や擬アーベル圏のような非加法的状況に適した、三角圏の一般化としての「降下圏」を定義する。
• 任意の閉埋め込みに沿った吹き上げに対して、ファンクター値の全複体への誘導写像が準同型であることを要請する基準を導入する。
• この基準は、ヒロナカの特異点解消を用いて検証され、例外的除算と厳密な像が必要なホモトピー的性質を満たすことが保証される。
• 拡張は、導来圏 D^b(A) における普遍性により構成され、開補集合上で同型であるような固有射に関してコホモロジカル的降下性と整合性を保つ。
• この方法は代数的および複素解析的両設定に適用可能であり、両者の文脈で特異点解消定理を活用する。
• 構成は、フィルトレーションとホモトピー不変性を介して、Sch(k) 上でグロチンデックの K_0-理論を拡張するモチーフ的ファンクター h と h_c を定義するために適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴値がゼロの体上の滑らかなスキームに定義されたコホモロジカルファンクターが、自然なホモトピー的条件のもとで、すべての分離的かつ有限型スキームへ拡張可能か？
• RQ2 ファンクターが特異スキームへ拡張された際にコホモロジカル的降下性を満たすために必要な条件は何か？
• RQ3 特異点解消と導来的降下条件を用いて、モチーフの理論を特異スキームへどのように拡張できるか？
• RQ4 デリーニのホッジ理論に依存せずに、複素解析的空間のフィルトレーテッドホッジ＝デ・ラーム複体を構成可能か？
• RQ5 Sch(k) 上に存在するモチーフ的ファンクター h と h_c が、グロチンデック環におけるオイラー乗数の独立性に関するセールの問いに肯定的な答えを提供するか？

主な発見

• 本稿は、滑らかなスキーム上で定義されたファンクター G が吹き上げ完全列条件（F3）を満たすならば、そのファンクターがアーベル圏の導来圏 D^b(A) へ一意に拡張され、コホモロジカル的降下性を保つことを証明する。
• この拡張は、任意の固有射 f: X' → X に対して降下条件を満たす。ここで f は X−Y 上で同型であり、Y は閉部分スキームである。
• 複素解析的空間に対して、デリーニのホッジ理論を仮定せず、次数フィルトレーションを備えた正則微分形式の複体として、フィルトレーテッドホッジ＝デ・ラーム複体が構成される。
• 著者たちは、Sch(k) 上にグロチンデックの K_0-理論を拡張する2つのモチーフ的ファンクター h と h_c を構成する。ここで h は重みフィルトレーションの E1 項に対応し、h_c はコンパクトな補集合付きコホモロジーやる。
• ファンクター h と h_c がベティ実現と整合的であり、ホモトピー不変性を満たすことが示され、滑らかな射影的多様体 Y のアフィン錐 X に対して χ(X) = 1 であるのに対し、χ_c(X) = 1 + χ(Y)(-1) - χ(Y) であるため、K_0(M_{rat}^+) 内でこれらは等しくないことがわかる。
• この基準はアーベル圏の文脈に限らず、微分的可換代数や擬アーベル圏のような非加法的状況においても、降下圏の概念を用いて有効である。