[論文レビュー] (Un)decidable Problems about Reachability of Quantum Systems

Yangjia Li, Mingsheng Ying|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子オートマトンでモデル化された量子系における到達可能性の性質を調査し、4つの時相論理式（到達可能性、常に、永遠に到達可能、無限回到達可能）に注目する。一般には、4つのすべての性質が決定不能であることを証明している。しかし、部分空間の単純なブール結合（否定を含まない）の場合には、グローバル、永遠に到達可能、無限回到達可能な到達可能性は決定可能になる。主な貢献は、到達可能性条件における否定の有無に応じて、決定不能性と決定可能性の鋭い境界を確立したことにある。

ABSTRACT

We study the reachability problem of a quantum system modelled by a quantum automaton. The reachable sets are chosen to be boolean combinations of (closed) subspaces of the state space of the quantum system. Four different reachability properties are considered: eventually reachable, globally reachable, ultimately forever reachable, and infinitely often reachable. The main result of this paper is that all of the four reachability properties are undecidable in general; however, the last three become decidable if the reachable sets are boolean combinations without negation.

研究の動機と目的

• 量子オートマトンでモデル化された量子系における到達可能性性質の決定可能性を分析すること。
• 到達可能性性質4つ（到達可能、常に、永遠に到達可能、無限回到達可能）を時相論理に基づいて検討すること。
• これらの到達可能性問題が決定可能になる条件を特定すること、特にターゲット集合におけるブール否定の役割に注目すること。
• 量子到達可能性を、スコルム問題やミンスキー・マシンの停止問題といった古典的決定問題と結びつけること。
• 閉部分空間のブール結合を原子命題として用いる形式的枠組みを提供し、量子系の指定と検証を可能にすること。

提案手法

• 量子オートマトンの空集合問題への還元により、グローバル、永遠に到達可能、無限回到達可能な到達可能性性質の決定不能性を証明する。
• 2カウンター・ミンスキー・マシンの停止問題への還元により、到達可能到達可能性性質の決定不能性を証明する。ここでは、非可逆的古典計算を新たな量子シミュレーション戦略で模倣している。
• スコルム＝マハラー＝レッチの定理を応用し、単一のユニタリ作用素を伴う量子オートマトンにおける周期的状態到達可能性を特徴付ける。
• 状態の進化をモデル化し、正の論理式における決定可能性を可能にするために、可逆的で決定的な有限オートマトン（DFA）としての実行グラフの帰納的構成を行う。
• ユニタリ作用素の逆像と積集合演算を用いた、部分空間の反復的精錬による最大不変集合Yのアルゴリズム的構築。
• ヒルバート空間の閉部分空間のブール結合を命題として用いた時相論理式による到達可能性の形式的定式化。ユニタリ変化における論理的閉包に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ターゲット集合が部分空間のブール結合である場合、量子オートマトンにおける到達可能到達可能性性質は決定可能か？
• RQ2 ターゲット集合に否定が含まれない場合、グローバル到達可能、永遠に到達可能、無限回到達可能な性質は決定可能か？
• RQ3 2カウンター・ミンスキー・マシンの停止問題からの還元により、量子到達可能性の決定不能性を確立できるか？
• RQ4 ターゲット論理式における否定の有無が、量子到達可能性問題の決定可能性に与える影響はどの程度か？
• RQ5 スコルム＝マハラー＝レッチの定理を応用することで、ユニタリ変化を伴う特定のクラスの量子オートマトンについて、決定可能性の結果を得られるか？

主な発見

• 到達可能、グローバル、永遠に到達可能、無限回到達可能な4つの到達可能性性質は、一般に決定不能である。これは、ターゲット集合が否定を含む単純なブール結合であっても同様である。
• グローバル、永遠に到達可能、無限回到達可能な到達可能性性質の決定不能性は、量子オートマトンの空集合問題への直接的還元によって示される。
• 到達可能到達可能性性質の決定不能性は、2カウンター・ミンスキー・マシンの停止問題への新しい還元により確立され、非可逆的古典計算を模倣する新たな量子決定不能性の証明法を示している。
• ターゲット集合が正のブール結合（すなわち、否定を含まない）である場合、グローバル、永遠に到達可能、無限回到達可能な到達可能性性質は決定可能になる。
• ユニタリ作用素が1つのみの量子オートマトンで、ターゲット集合が部分空間の有限和集合である場合、到達可能性挙動は周期的であり、サイクルグラフとしてモデル化可能となる。これにより、アルゴリズム的検証が可能になる。
• 最大不変集合Yを求める反復的アルゴリズムが提示され、正の論理式におけるグローバル到達可能状態を特徴付ける。部分空間の降鎖条件により、有限ステップで終了する。