[論文レビュー] Unavoidable sets and Wiener's test for Hunt processes

Wolfhard Hansen|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、距離に基づく比較 G ≈ g ◦ ρ を満たすグリーン関数を備えたバレイジュ空間におけるハント過程において、集合が「避けられない」（任意の初期点から確率1で到達される）かどうかを判定するウィーナー型テストを確立する。重み付き性質と g の減衰を含む条件下で、互いに素な球の局所的有限和集合が避けられないための必要十分条件として、g(ρ(x₀,z))/g(rz) を項とするある系列の発散が得られ、最近の拡散過程に関する到達確率に関する結果を一般化・簡略化する。

ABSTRACT

Let (X,W) be a balayage space, 1 ∈ W, or – equivalently – let W be the set of excessive functions of a Hunt process on a locally compact space X with countable base such that W separates points, every function in W is the supremum of its continuous minorants and there exist strictly positive continuous u, v ∈ W such that u/v → 0 at infinity. We suppose that there is a Green function G> 0 for X, a metric ρ on X and a decreasing function g: [0,∞) → (0,∞] having the doubling property and a mild upper decay at infinity such that G ≈ g ◦ ρ (which is equivalent to a 3G-inequality). Then the corresponding capacity for balls of radius R is bounded by a con-stant multiple of 1/g(R). Assuming that the constant function 1 is harmonic and the capacity of large balls satisfies a reverse estimate or that bounded functions are harmonic if and only if they are constant (Liouville property), it is proven that Wiener’s test at infinity shows, if a given set A in X is unavoidable, that is, if the process hits A with probability one, wherever it starts. An application yields that locally finite unions of pairwise disjoint balls B(z, rz), z ∈ Z, which have a certain separation property with respect to a suitable measure λ on X are unavoidable if and only if, for some/any point x0 ∈ X, the series z∈Z g(ρ(x0, z))/g(rz) diverges. The results generalize and, exploiting a zero-one law for hitting proba-bilities, simplify recent work by S. Gardiner and M. Ghergu, A. Mimica and Z. Vondraček, and the author.

研究の動機と目的

• バレイジュ空間におけるハント過程の避けられない集合を特定するウィーナーのテストを拡張すること。
• 互いに素な球の局所的有限和集合が避けられるかどうかを、発散級数条件を用いて特徴付けること。
• 最近の拡散過程の到達確率に関する結果を一般化・簡略化すること。
• 容量と調和関数の文脈において、到達確率のゼロ・ワン法則を確立すること。
• リウヴィルの性質または逆容量推定が避けられる集合を導くような条件を統一すること。

提案手法

• 距離 ρ と減衰する、ダブリング性を持つ関数 g に対して、グリーン関数 G が G ≈ g ◦ ρ を満たすことを用いる。
• 球の容量が 1/g(R) の定数倍で上から抑えられるような容量推定を適用する。
• 過剰関数の挙動を制御するための主要な技術的道具として 3G 不等式を用いる。
• 1 が調和的であるか、または有界な調和関数が定数である（リウヴィルの性質）という仮定を用いて、グローバルな到達挙動を導出する。
• 到達確率のゼロ・ワン法則を適用し、問題を級数の発散基準に還元する。
• 測度 λ を用いた X 上の、互いに素な球の和集合の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた集合 A がハント過程において避けられない（任意の初期点から確率1で到達される）ための条件は何か？
• RQ2 ブラウン運動を越えて一般のハント過程において、ウィーナーのテストをどのように避けられる集合を特徴付けるために適応できるか？
• RQ3 互いに素な球の和集合が避けられるかどうかを決定する正確な級数条件は何か？
• RQ4 g のダブリング性と減衰性は、容量と到達確率にどのように影響を与えるか？
• RQ5 リウヴィルの性質または逆容量推定が、大きな集合が避けられるということを示すのはどのような場合か？

主な発見

• 互いに素な球 B(z, rz) の局所的有限和集合は、ある/任意の x₀ ∈ X に対して級数 ∑_{z∈Z} g(ρ(x₀,z))/g(rz) が発散するときかつそのときに限り避けられる。
• 半径 R の球の容量は 1/g(R) の定数倍で上から抑えられ、幾何的性質と確率的性質を結びつける。
• 無限遠点におけるウィーナーテストは、1 が調和的であり、大きな球の容量が逆推定を満たすという仮定の下で、避けられる集合を特徴付ける。
• ガルディナー、ゲルク、ミミカ、ヴォンドラチェクによる最近の到達確率に関する結果を一般化・簡略化する。
• 到達確率のゼロ・ワン法則は、問題を級数の発散条件に還元する上で中心的な役割を果たす。
• G ≈ g ◦ ρ の同値性に加え、g のダブリング性により 3G 不等式が成立し、証明で用いられる容量推定が有効であることが保証される。