[論文レビュー] Unbounded derivations, free dilations and indecomposability results for II$_1$ factors

Yoann Dabrowski, Adrian Ioana|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 52被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非有界な閉可能導分を用いて、II$_1$因子が素であるか、最大で一つのカーテン・サブ algebra を持つための十分条件を確立する。非可換な II$_1$ 因子が、非可換性集合を含む定義域を備えた実値で閉可能である非有界導分を備えるならば、その因子は素であり、性質 Gamma を持たない。さらに、導分が代数的である場合には、因子はカーテン・サブ algebra を持たない。これらの結果は、自由群因子や HNN 拡大に応用され、特定の群の von Neumann 代数におけるカーテン・サブ algebra の一意性が得られる。

ABSTRACT

We give sufficient conditions, in terms of the existence of unbounded derivations satisfying certain properties, which ensure that a II$_1$ factor $M$ is prime or has at most one Cartan subalgebra. For instance, we prove that if there exists a real closable unbounded densely defined derivation $\\delta:M\ ightarrow L^2(M)\\bar{\\otimes}L^2(M)$ whose domain contains a non-amenability set, then $M$ is prime. If $\\delta$ is moreover "algebraic" (i.e. its domain $M_0$ is finitely generated, $\\delta(M_0)\\subset M_0\\otimes M_0$ and $\\delta^*(1\\otimes 1)\\in M_0$), then we show that $M$ has no Cartan subalgebra. We also give several applications to examples from free probability. Finally, we provide a class of countable groups $\\Gamma$, defined through the existence of an unbounded cocycle $b:\\Gamma\ ightarrow \\mathbb C(\\Gamma/\\Lambda)$, for some subgroup $\\Lambda<\\Gamma$, such that the II$_1$ factor $L^{\\infty}(X)\ times\\Gamma$ has a unique Cartan subalgebra, up to unitary conjugacy, for any free ergodic probability measure preserving (pmp) action $\\Gamma\\curvearrowright (X,\\mu)$.

研究の動機と目的

• 非有界導分に基づく十分条件を同定し、II$_1$ 因子が素であるか、最大で一つのカーテン・サブ algebra を持つことの条件を特定する。
• 特定の正規性および定義域の性質を備えた導分を導入することにより、変形／剛性理論における既存の剛性結果を拡張する。
• これらの条件を自由確率論および群 von Neumann 代数の例、特に HNN 拡大に適用する。
• 特定の群作用が確率空間に作用する場合、カーテン・サブ algebra の一意性（ユニタリ同型を除いて）を確立する。
• 自由群因子や双曲的群におけるカーテン・サブ algebra の不在および素性に関する先行結果を一般化する。

提案手法

• 本稿では、II$_1$ 因子 $M$ の弱密な $*$-部分代数 $M_0$ に対して、$\delta: M_0 \to (L^2(M)\overline{\otimes}L^2(M))^{\oplus\infty}$ という閉可能で非有界な導分を用いる。
• 粗い双加法モジュール上の均一なスペクトルギャップ条件によって非可換性を特徴付ける、$M$ 内の非可換性集合の概念を導入する。
• 導分が実値かつ閉可能であり、非可換性集合を含む定義域を持つことにより、$M$ が $L^2$-剛性でないことが保証される。
• 代数的導分（$M_0$ が有限生成、$\delta(M_0) \subset M_0 \otimes M_0$、$\delta^*(1\otimes 1) \in M_0$ を満たす）の場合、$M$ がカーテン・サブ algebra を持たないことを証明する。
• 群 von Neumann 代数への応用では、$b: \Gamma \to \mathbb{C}(\Gamma/\Lambda)$ という非有界コサイクルを用い、群論的性質と von Neumann 代数的構造を結びつける。
• 証明はスペクトルギャップの剛性および特定の群集合上での不変な有限加法的測度の不在に依拠し、内挙動的可換性および共可換性に関する背理法による議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界導分にどのような条件が課されると、II$_1$ 因子が素であり、性質 Gamma を持たないか？
• RQ2 代数的非有界導分が存在する場合、II$_1$ 因子がカーテン・サブ algebra を持たないことを保証する条件は何か？
• RQ3 群 $\Gamma$ が非有界コサイクル $b: \Gamma \to \mathbb{C}(\Gamma/\Lambda)$ を持つとき、任意の自由で可測不変な pmp 動作 $\Gamma \curvearrowright (X,\mu)$ に対して、$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$ はユニタリ同型を除いて一意なカーテン・サブ algebra を持つか？
• RQ4 共役の共通部分が自明である HNN 拡大 $\Gamma = \text{HNN}(G,\Lambda,\theta)$ は、内挙動的可換性および共可換性においてどのように振る舞うか？
• RQ5 特定の定義域および代数的条件を備えた非有界導分の存在から、群 von Neumann 代数がどのような構造的性質を示すか？

主な発見

• 非可換な II$_1$ 因子 $M$ が、非可換性集合を含む定義域を備えた実値で閉可能である非有界導分を備えるならば、$M$ は $L^2$-剛性でないため、素であり、性質 Gamma を持たない。
• 導分が代数的（有限生成の定義域、像がテンソル積内、随伴条件を満たす）である場合、$M$ はカーテン・サブ algebra を持たない。
• 任意の自由で可測不変な pmp 動作 $\Gamma \curvearrowright (X,\mu)$ に対して、$\Gamma$ が非有界コサイクル $b: \Gamma \to \mathbb{C}(\Gamma/\Lambda)$ を持つならば、$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$ はユニタリ同型を除いて一意なカーテン・サブ algebra を持つ。
• 共役の共通部分が自明である HNN 拡大 $\Gamma = \text{HNN}(G,\Lambda,\theta)$ は、内挙動的可換でなく、$\Lambda$ は $\Gamma$ において共可換でないため、関連する群因子は性質 Gamma を持たない。
• このような HNN 拡大の群因子 $L(\Gamma)$ は素であり、カーテン・サブ algebra を持たず、自由群因子における先行結果を一般化する。
• HNN 拡大上で定義された非有界コサイクル $b$ は、$\|b((gt)^n)\|_2 = \sqrt{n}$ を満たすため、非有界性が確認され、本稿の主要定理の適用が可能になる。