[論文レビュー] Unbounded generalizations of the Fuglede-Putnam theorem

Souheyb Dehimi, Mohammed Hichem Mortad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Holomorphic and Operator Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Fuglede-Putnam定理の非有界な一般化を調査し、稠密に定義された閉可能作用素に対して正規性およびスペクトル条件の下で新しい結果を証明するとともに、一部の提案された一般化に対する反例も提示する。Bが有界作用素で、正規かつ閉可能である非有界作用素Nと可換であれば、BはN*とも可換であることが示され、古典的な結果が非有界設定に拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we prove and disprove several generalizations of unbounded versions of the Fuglede-Putnam theorem.

研究の動機と目的

• Fuglede-Putnam定理を非有界正規作用素へ拡張すること。
• 非有界作用素が有界作用素と可換である場合に、その共役作用素とも可換である条件を調査すること。
• このような一般化において、スペクトル条件および定義域の包含関係の役割を明確にすること。
• 反例を用いて、一部の提案された一般化を否定すること。
• 既存の非有界Fuglede-Putnam型定理の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 有界正規作用素に対する古典的Fuglede定理を基礎的道具として用いる。
• 共役作用素の操作を適用して、作用素の可換性関係の含意を導出する。
• 特に解離集合およびスペクトルを用いたスペクトル理論を用いて非有界作用素を分析する。
• 閉グラフ定理および稠密に定義された閉可能作用素の性質を用いて、共役作用素の定義域の適切さを保証する。
• 行列の拡張技術（例えば、ブロック作用素）を用いて、問題を既知の有界ケースに還元する。
• L2(R) 上の特定の定義域をもつ非有界自己共役および正規作用素を用いて、明示的な反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界正規Aおよび有界Bに対して、BA ⊂ AB が成り立つとき、どのような条件下で BA* ⊂ A*B が成り立つか？
• RQ2 BN ⊂ MB が成り立つ非有界正規作用素Nおよび有界Bに対して、Fuglede-Putnam定理を一般化できるか？
• RQ3 σ[p(A)] ≠ C である非有界Aおよび正規Nに対して、NA ⊂ AN ならば NA* ⊂ A*N が成り立つか？
• RQ4 Fuglede-Putnam定理を非有界設定に拡張する際の制限は何か？
• RQ5 正規Nおよび自己共役Aのもとで、NA ⊂ AN* だが NA* ⊄ AN となる場合があるか？

主な発見

• Aが稠密に定義された閉可能正規作用素で、B ∈ B(H) がAと可換であれば、BはA*とも可換である。これはFuglede定理を非有界正規作用素へ一般化するものである。
• Nが稠密に定義された閉可能正規作用素で、B ∈ B(H) が BN ⊂ MB を満たすならば、BN* ⊂ M*B が成り立つ。これはFuglede-Putnam定理を非有界正規作用素へ拡張するものである。
• 多項式pと非有界正規作用素Nで σ[p(A)] ≠ C を満たすものに対して、D(A) ⊂ D(N) ならば NA ⊂ AN ならば NA* ⊂ A*N が成り立つ。これは結果が成り立つためのスペクトル条件を提供する。
• 系により、Aが自己共役または有界逆を持つ場合、定義域の包含関係のもとで結果が成り立つことが示される。
• 反例3.8は、AN* = NA であっても NA ⊂ N*A が成り立たない場合があることを示し、正規Nおよび自己共役Aのもとでも成り立たない。
• 反例3.9は、閉作用素Tおよび正規作用素Mを構成し、TM ⊂ MT だが TM* ⊄ M*T かつ M*T ⊄ TM* であることを示し、Putnam型一般化を否定する。