[論文レビュー] Unbounded Induced Representations of *-Algebras

Yu. Savchuk, Konrad Schmuedgen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、条件付き期待値と正性条件を用いて、群に分類された $*$-代数の非有界誘導 $*$-表現の理論を構築する。特に、可換な単位元成分をもつ群に分類された $*$-代数に焦点を当て、完全なマッケイ理論を確立し、2つのヴァージョンの不変性定理を証明する。また、良好な性質を持つ表現が循環的表現の直和であり、誘導に関して閉じていることを示し、ウェイル代数、$su(2)$、$su(1,1)$、バーラン・代数、および力学系への詳細な応用を提示する。

ABSTRACT

Induced representations of $\ast$-algebras by unbounded operators in Hilbert space are investigated. Conditional expectations of a $\ast$-algebra $\cA$ onto a unital $\ast$-subalgebra $\cB$ are introduced and used to define inner products on the corresponding induced modules. The main part of the paper is concerned with group graded $\ast$-algebras $\cA=\oplus_{g\in G}\cA_g$ for which the *-subalgebra $\cB:=\cA_e$ is commutative. Then the canonical projection $p:\cA o\cB$ is a conditional expectation and there is a partial action of the group $G$ on the set $\cBp$ of all characters of $\cB$ which are nonnegative on the cone $\sum\cA^2\cap\cB.$ The complete Mackey theory is developed for $\ast$-representations of $\cA$ which are induced from characters of $\cBp.$ Systems of imprimitivity are defined and two versions of the imprimitivity theorem are proved in this context. A concept is well-behaved $\ast$-representations of such $\ast$-algebras $\cA$ is introduced and studied. It is shown that well-behaved representations are direct sums of cyclic well-behaved representations and that induced representations of well-behaved representations are again well-behaved. The theory applies to a large variety of examples. For important examples such as the Weyl algebra, enveloping algebras of the Lie algebras $su(2),$ $su(1,1)$, and of the Virasoro algebra, and $\ast$-algebras generated by dynamical systems our theory is carried out in great detail.

研究の動機と目的

• 複素単位元付き $*$-代数の非有界誘導 $*$-表現の体系的理論を構築し、$C^*$-代数の枠組みを越えて展開する。
• 一般の $*$-代数における正性の課題に対処するため、$\sum \mathcal{A}^2 \cap \mathcal{B}$ の錐上で正性を保つ新しい条件付き期待値の概念を導入する。
• 可換 $*$-部分代数 $\mathcal{B}$ の正錐上で文字から誘導される $*$-表現に関する完全なマッケイ型理論を確立する。
• 良好な性質を持つ $*$-表現の概念を導入・研究し、それが循環的表現の直和であり、誘導に関して閉じていることを示す。
• ウェイル代数、$su(2)$、$su(1,1)$、バーラン・代数、および力学系から得られる $*$-代数を含む主要な例への理論の応用。

提案手法

• 条件付き期待値 $p: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ を、$\mathcal{B}$-線形で、$*$-を保存し、単位元を保つ射影であり、$p(\sum \mathcal{A}^2) \subseteq \mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ を満たすものとして定義し、正性の適合性を保証する。
• 誘導モジュール $\mathcal{A} \otimes_\mathcal{B} V$ 上に内積 $\langle a_1 \otimes v_1, a_2 \otimes v_2 \rangle_0 := \langle p(a_2^*a_1)v_1, v_2 \rangle$ を定義し、ヒルベルト空間への完備化を可能にする。
• $\widehat{\mathcal{B}}^+$ を、$\mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ 上で非負である $\mathcal{B}$ 上の文字の集合として定義し、表現の誘導の定義域とする。
• 群 $G$ の $\widehat{\mathcal{B}}^+$ 上への部分的群作用を導入し、古典的なマッケイ機構を非有界作用素および非 $C^*$-代数的状況に一般化する。
• ユニタリ作用素によって実装される系の不変性を備えた $L^2(\widehat{\mathcal{B}}^+, \mu)$ 上に $\mathcal{A}$-モジュール構造を構成し、2つのヴァージョンの不変性定理を証明する。
• スペクトル理論を用いて、$\mathcal{B}$ の可積分な $*$-表現 $\pi$ を $\widehat{\mathcal{B}}^+$ に台を持つスペクトル測度 $E_\pi$ に結びつけ、$\pi(b)$ の正性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $C^*$-代数的手法が失敗する非有界作用素を含むヒルベルト空間における誘導 $*$-表現は、どのように定義できるか？
• RQ2 一般の $*$-代数において、正性を保ち、誘導モジュール上での内積構成を可能にする適切な条件付き期待値の概念は何か？
• RQ3 マッケイの誘導表現理論および不変性定理は、群に分類された $*$-代数の非有界表現にどのように一般化できるか？
• RQ4 $*$-表現が良好であるための条件は何か？ また、このクラスは誘導および直和に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 良好な性質を持つ表現の誘導表現は、ウェイル代数やバーラン・代数などの主要な例において、既約表現とどのように関係するか？

主な発見

• 群に分類された $\mathcal{A}$ で $\mathcal{B}$ が可換であるとき、$\mathcal{A}$ から $\mathcal{B} = \mathcal{A}_e$ への標準的射影 $p: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ は条件付き期待値であり、誘導表現の構成を可能にする。
• $\mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ 上で非負である文字から誘導される表現は、well-defined であり、誘導モジュール上で正定値内積をもたらす。
• 不変性系が定義され、2つのヴァージョンの不変性定理が証明され、誘導表現と $L^2(\widehat{\mathcal{B}}^+, \mu)$ 上の共変表現との間の同値性が確立される。
• すべての良好な性質を持つ $\mathcal{A}$ の $*$-表現は、循環的で良好な表現の直和であり、良好な表現の誘導表現も依然として良好である。
• $\mathcal{B}$ の可積分な $*$-表現 $\pi$ に関連するスペクトル測度 $E_\pi$ は $\widehat{\mathcal{B}}^+$ に台を持つ。これにより、$b \in \mathcal{B} \cap \sum \mathcal{A}^2$ に対して $\pi(b)$ の正性が保証され、理論の根幹をなす。