[論文レビュー] Unbounded loops in quantum programs: categories and weak while loops

Pablo Andrés-Martí­nez|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、トレース付きモノイド圏を用いて非有界な量子ループを形式化するカテゴリカルな枠組みを提案し、測定強度を調整することで量子高速化を維持するクラスカル制御量子ループである$κ$-whileループを提唱する。有限次元および無限次元ヒルベルト空間において、実行式がカテゴリカルなトレースとして成立することを証明し、量子反復の整合性と弱測定に基づくループ制御を可能にする。

ABSTRACT

Control flow of quantum programs is often divided into two different classes: classical and quantum. Quantum programs with classical control flow have their conditional branching determined by the classical outcome of measurements, and these collapse quantum data. Conversely, quantum control flow is coherent, i.e. it does not perturb quantum data; quantum walk-based algorithms are practical examples where coherent quantum feedback plays a major role. This dissertation has two main contributions: (i) a categorical study of coherent quantum iteration and (ii) the introduction of weak while loops. (i) The objective is to endow categories of quantum processes with a traced monoidal structure capable of modelling iterative quantum loops. To this end, the trace of a morphism is calculated via the execution formula, which adds up the contribution of all possible paths of the control flow. Haghverdi's unique decomposition categories are generalised to admit additive inverses and equipped with convergence criteria using basic topology. In this setting, it is possible to prove the validity of the execution formula as a categorical trace on certain categories of quantum processes. (ii) A weak while loop is a classical control flow primitive that offers a trade-off between the collapse caused on each iteration and the amount of information gained. The trade-off may be adjusted by tuning a parameter and, in certain situations, it is possible to set its value so that we may control the algorithm without sacrificing its quantum speed-up. As an example, it is shown that Grover's search problem can be implemented using a weak while loop, maintaining the same time complexity as the standard Grover's algorithm (as previously shown by Mizel).

研究の動機と目的

• 有限次元ヒルベルト空間における量子プロセス圏のトレース付きモノイド構造を用いた、整合的量子反復のカテゴリカル基盤の構築を目的とする。
• ハグヴェルディの分解カテゴリを、位相的基準による加法的逆元と収束基準を含む形に一般化することを目的とする。
• 測定崩壊と情報取得のバランスを取ることを目的として、測定崩壊を最小限に抑えるクラスカル制御ループとして$κ$-whileループを導入することを目的とする。
• 測定強度$κ$を調整することにより、非有界ループにおいても量子高速化を維持できることを示すこと。
• CPTR圏におけるファンクター的構成と同型写像を用いて、弱whileループの意味論的意味づけを提供すること。

提案手法

• 一意的分解カテゴリを加法的逆元を含む形に一般化し、位相的基準を用いて収束を定義する。
• 実行式を用いて、射のトレースをすべての制御フローパathの和として計算する。
• 関手$F$を$σ$-モノイドからCPTRへの写像として用い、同型写像$h$および標準的包含写像$\theta, \phi$を用いて$κ$-whileループを構成する。
• $\phi \circ F(h \circ E_{\kappa,Q}) \circ (\mathcal{C} \otimes \mathrm{id}) \circ F(h^{-1}) \circ \theta$を用いて、$\mathrm{Wk}_{\kappa,Q}(\mathcal{C})$を$\mathbf{CPTR}$内の射として定義する。
• 準射影$\pi_{\bot}, \pi_{\top}$と単射$\iota_{\bot}, \iota_{\top}$を用いて、ループの作用を行列分解で表現する。
• Fourier分解と時間シフト不変性を用いて、$(\mathbf{LSI}_{\leq}, \oplus, \mathrm{ex})$が完全トレース付きであることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元および無限次元ヒルベルト空間において、カテゴリカルトレース構造を用いて非有界量子ループを形式的にモデル化できるか？
• RQ2 測定による崩壊を最小限に抑えるとともに量子高速化を維持するクラスカル制御ループは、どのように設計できるか？
• RQ3 弱whileループにおける反復回数が高確率で有界であるための条件は何か？
• RQ4 時間シフト不変系において、整合的量子フィードバックのカテゴリカルトレースを定義することは可能か？
• RQ5 $κ$-whileループを用いて、標準アルゴリズムと同一の時間計算量でグローバー探索を実装できるか？

主な発見

• 実行式が有限次元ヒルベルト空間上の量子プロセス圏におけるカテゴリカルトレースとして正当化されていることが証明された。
• 離散時間における時間シフト不変量子プロセスの圏が、Fourier分解を用いて完全トレース付きであることが示された。
• $κ$-whileループは、ループ本体$\mathcal{C}$を$\mathbf{CPTR}$における弱測定対応物へ写像するファンクター的構成により、形式的に定義された。
• 最適な測定強度$\kappa$を用いた場合、$κ$-whileループは標準グローバー法と同一の時間計算量を維持する。
• 任意に高い確率で最悪ケースの反復回数を推定するための十分条件が提示された。
• 測定崩壊と情報取得のバランスを$\kappa$の調整によって確保することで、量子高速化が維持されることを保証する構成がなされた。