[論文レビュー] Unbounded Order Convergence and Application to Martingales without Probability

Niushan Gao, Foivos Xanthos|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、確率空間を超えて一般化するため、バナッハ格子における非有界順序（uo）収束を導入する。順序連続なバナッハ格子に弱単位を備えたノルム有界なサブマルティングループはほとんど確実にuoコーシー列であり、KB空間では任意のノルム有界なサブマルティングループがuo収束することを証明する。これにより、古典的なドゥーブの結果が抽象的・測度論的非依存な設定へと拡張される。

ABSTRACT

A net $(x_α)_{α\in Γ}$ in a vector lattice $X$ is unbounded order convergent (uo-convergent) to $x$ if $|x_α-x| \wedge y \xrightarrow{o} 0$ for each $y \in X_+$, and is unbounded order Cauchy (uo-Cauchy) if the net $(x_α-x_{α'})_{Γ imes Γ}$ is uo-convergent to 0. In the first part of this article, we study uo-convergent and uo-Cauchy nets in Banach lattices and use them to characterize Banach lattices with the positive Schur property and KB-spaces. In the second part, we use the concept of uo-Cauchy sequences to extend Doob's submartingale convergence theorems to a measure-free setting. Our results imply, in particular, that every norm bounded submartingale in $L_1(Ω;F)$ is almost surely uo-Cauchy in $F$, where $F$ is an order continuous Banach lattice with a weak unit.

研究の動機と目的

• 非有界順序収束を用いて、ベクトル格子およびバナッハ格子における測度論的非依存なマルティングループ理論を構築すること。
• uo収束およびuoコーシー列を用いて、正のシュール性を持つバナッハ格子およびKB空間を特徴付けること。
• 確率測度に依存せずに、ドゥーブのほとんど確実収束定理を抽象的マルティングループへ拡張すること。
• 順序連続なバナッハ格子における抽象的フィルトレーションにおけるサブマルティングループおよびマルティングループのノルム収束およびuo収束に関する結果を確立すること。

提案手法

• 非有界順序（uo）収束を導入：ネット $ (x_\alpha) $ が $ x $ にuo収束するとは、すべての $ y \in X_+ $ に対して $ |x_\alpha - x| \wedge y \xrightarrow{o} 0 $ となること。
• uoコーシー列を、$ (x_\alpha - x_{\alpha'}) $ が 0 にuo収束するようなものとして定義し、順序完備性を仮定せずに収束解析を可能にする。
• uo収束を用いて、正のシュール性を持つバナッハ格子を特徴付ける：相対的に弱コンパクトなuo収束ネットはノルム収束する。
• 抽象的マルティングループ（正の射影によるフィルトレーション）にuoコーシー列を適用し、ドゥーブの収束定理を一般化する。
• 弱単位 $ x_0 $ と有界射影 $ E_n $ を含む二重条件 $ (\diamond) $ を用いて、$ (E_n x) $ のノルム収束を保証する。
• KB空間および順序連続なバナッハ格子では、相対的弱コンパクト性またはノルム有界性が、uoコーシー列のuo収束を意味することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下でバナッハ格子において任意のuoコーシー列が収束するか？
• RQ2 サブマルティングループのドゥーブのほとんど確実収束定理を確率的でない抽象的設定へどのように拡張できるか？
• RQ3 任意の相対的に弱コンパクトなuo収束ネットがノルム収束するようなバナッハ格子はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 どの抽象的フィルトレーションにおいてノルム有界なサブマルティングループがuoコーシー列またはuo収束列となるか？
• RQ5 抽象的マルティングループのフィルトレーションにおいて、uo収束およびノルム収束を用いて $ (E_n x) $ の収束を保証できるか？

主な発見

• 順序連続なバナッハ格子では、任意の相対的に弱コンパクトなuoコーシー列はuo収束し、このような空間は正のシュール性を持つことと特徴づけられる。
• KB空間では、任意のノルム有界なuoコーシー列はuo収束し、この性質は順序連続なバナッハ格子の中でKB空間を特徴付ける。
• $ L_1(\Omega; F) $ における任意のノルム有界なサブマルティングループで、$ F $ が弱単位を備えた順序連続なバナッハ格子であるとき、その列は $ F $ においてほとんど確実にuoコーシー列である。
• KB空間における任意のノルム有界なサブマルティングループはuo収束し、これによりドゥーブの古典的ほとんど確実収束結果が一般化される。
• 任意のマルティングループの部分列が弱収束する場合、抽象的双確率的フィルトレーションのもとで、全列は同じ極限にuo収束し、ノルム収束する。
• サブマルティングループにおいて、部分列が $ x $ に弱収束するならば、$ (z_n^+) $ は $ x^+ $ にuo収束し、ノルム収束する。これにより、正の部分へのノルム収束結果が拡張される。