[論文レビュー] Uncertainty and Complementarity Relations in Weak Measurement

Arun Kumar Pati, Junde Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、与えられた観測量の弱値を与える期待値を有する非エルミート演算子を定義することで、非可換な観測量の弱値に対する新しい不確定性関係を確立する。これにより、非自明な分散に基づく不確定性の下限が得られる。さらに、2つの非可換射影演算子の弱値の積は、個々の弱値が大きくあるいは複素数であっても、常に1以下に制限されることを示す補完性関係を証明する。

ABSTRACT

We prove uncertainty relations that quantitatively express the impossibility of jointly sharp preparation of pre- and post-selected quantum states for measuring incompatible observables during the weak measurement. By defining a suitable operator whose average in the pre-selected quantum state gives the weak value, we show that one can have new uncertainty relations for variances of two such operators corresponding to two non-commuting observables. These generalize the recent stronger uncertainty relations that give non-trivial lower bounds for the sum of variances of two observables which fully capture the concept of incompatible observables. Furthermore, we show that weak values for two non-commuting projection operators obey a complementarity relation. Specifically, we show that for a pre-selected state if we measure a projector corresponding to an observable $A$ weakly followed by the strong measurement of another observable $B$ (for the post-selection) and, for the same pre-selected state we measure a projector corresponding to an observable $B$ weakly followed by the strong measurement of the observable $A$ (for the post-selection), then the product of these two weak values is always less than one. This shows that even though individually they are complex and can be large, their product is always bounded.

研究の動機と目的

• 弱測定における事前および事後選択された量子系集合の連続的鋭い準備に対して、不確定性関係が欠落している問題に対処すること。
• 弱値の期待値を与える非エルミート演算子の分散を定義し、意味のある不確実性の定量化を可能にすること。
• ロバートソン形式を越えて、弱測定の文脈における不整合性を捉えるより強い不確定性関係を一般化すること。
• 非可換な射影演算子の弱値の間の補完性関係を確立すること。

提案手法

• 事前選択状態における期待値が、与えられた観測量の弱値を与える非エルミート演算子を定義する。
• そのような非エルミート演算子の分散を定式化し、分散の和に基づく不確定性関係を構築する。
• 最近のより強い不確定性関係を越えて一般化された、非可換な観測量に対して非自明な下限を与える新しい不確定性関係を導出する。
• 事前選択状態における非可換な観測量AおよびBの射影演算子の弱値を分析する。
• 測定順序を逆にした場合の弱値 ⟨Π_A⟩_w と ⟨Π_B⟩_w の積が常に ≤ 1 であることを証明する。
• 明示的な波動関数積分を用いて、有限次元および無限次元ヒルベルト空間の両方で補完性関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前および事後選択された系集合における2つの不兼容な観測量の弱値に対して、非自明な不確定性関係を定式化できるか？
• RQ2 弱値の平均化によって得られる非エルミート演算子の分散をどのように意味的に定義できるか？
• RQ3 弱値が大きくあるいは複素数であっても、非可換な射影演算子の弱値は普遍的な上限に従うか？
• RQ4 弱測定における互いに排他的な量子的特徴の弱値間に補完性関係が存在するか？
• RQ5 新しい不確定性関係は、ロバートソン形式やハイゼンベルク形式に比べて、観測量の不整合性をより効果的に捉えられるか？

主な発見

• 著者らは、事前選択状態における期待値が弱値を与える非エルミート演算子を構築し、分散に基づく不確定性関係を可能にした。
• 新しい不確定性関係は、弱値の分散の和に対して非自明な下限を与える。これは、ロバートソン形式を越えて一般化されたより強い不確定性関係を含む。
• 2つの非可換な射影演算子に対して、測定順序を逆にした弱値の積 |⟨Π_A⟩_w⟨Π_B⟩_w| ≤ 1 を満たし、普遍的な補完性関係を確立した。
• この補完性関係は、有限次元および無限次元ヒルベルト空間の両方で成り立ち、不兼容な射影演算子の弱値に対する根本的な上限を示している。
• 特定の状況、例えば事後選択が運動量または位置の固有状態にある場合、境界が達成され、⟨Π_Δx⟩_w⟨Π_Δp⟩_w = 1 が得られる。
• 結果として、個々の弱値が大きくあるいは複素数であっても、それらの積が制限されることを示しており、弱測定の背後に潜む深い構造的性質が明らかになった。