[論文レビュー] Uncertainty propagation with functionally correlated quantities

Mosé Giordano|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Advancements in PLL and VCO Technologies参考文献 1被引用数 20

ひとこと要約

この論文では、測定値同士の関数的相関を、それらの独立測定値に関する偏微分を通じて追跡することにより、科学的計算における正確な不確実性伝搬を可能にするJuliaパッケージ Measurements.jl を提示する。x - x や x/x といった演算で不確実性がゼロとなるように保証することで、不確実性下でも数学的恒等式を正しく保存する。実数および複素数、任意精度、線形代数演算をサポートする。

ABSTRACT

Many uncertainty propagation software exist, written in different programming languages, but not all of them are able to handle functional correlation between quantities. In this paper we review one strategy to deal with uncertainty propagation of quantities that are functionally correlated, and introduce a new software offering this feature: the Julia package Measurements.jl. It supports real and complex numbers with uncertainty, arbitrary-precision calculations, mathematical and linear algebra operations with matrices and arrays.

研究の動機と目的

• 関数的相関を持つ量を含む数学的演算における不確実性伝搬を正しく行う課題に取り組むこと。標準的な誤差伝搬法では、x - x = 0 といった恒等式を正しく保存できない。
• 独立測定値への依存関係を追跡することで関数的相関を維持するソフトウェアソリューションを開発し、誤った共分散推定を回避すること。
• 行列代数や任意精度算術などの高度な数値演算をサポートする、高性能で拡張可能なJuliaにおける不確実性伝搬ツールを提供すること。
• 研究者が共分散項の手動導出をせずに、実験的データ解析における信頼性の高い不確実性伝搬を実行できるようにすること。

提案手法

• 導出された量が依存するすべての独立測定値を追跡し、各独立測定値に関する式の偏微分を用いる。
• 不確実性は単純化された誤差伝搬式（式4）を用いて伝搬する。独立変数を用いるため、すべての共分散項が構成上ゼロとなる。
• Juliaの型システムおよび数学的演算とのシームレスな統合を可能にするために、AbstractFloat を継承するカスタム Measurement 型を実装する。
• 各 Measurement オブジェクトに導関数情報を格納することで関数的相関を保持し、x - x のような演算で不確実性がゼロとなるように保証する。
• Juliaの高性能およびメタプログラミング機能を活用することで、複素数、配列、行列、任意精度算術を追加コードなしでサポートする。
• Pythonパッケージ「uncertainties」をインspireしたが、Juliaに完全にネイティブに実装されており、より高いパフォーマンスと型安全性を実現している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的相関を持つ量（例：x - x や x/x）を含む数学的式における不確実性を正しく伝搬する方法は何か？
• RQ2 共分散項を明示的に計算せずに、関数的相関を維持するための効率的で堅牢な計算戦略は何か？
• RQ3 Julia のような高水準な科学的計算言語を用いて、複素数、行列、任意精度をサポートする生産用途に適した不確実性伝搬パッケージを実装できるか？
• RQ4 Juliaの型システムをどのように活用すれば、最小限のコードで正しくかつパフォーマンスの高い不確実性伝搬を実装できるか？

主な発見

• Measurements.jl は、x - x = 0.0 ± 0.0 および x/x = 1.0 ± 0.0 を正しく計算し、関数的相関の追跡によって数学的恒等式を保持する。
• 任意精度算術をサポートしており、標準浮動小数点精度を超えた高精度な不確実性伝搬が可能である。
• 不確実値の配列および行列に対する線形代数演算がネイティブにサポートされ、行列乗算や逆行列計算における不確実性伝搬が正しく行われる。
• Juliaのコンパilationモデルのおかげで、C/Fortranと同等のパフォーマンスを達成しつつ、高水準言語の使いやすさを維持している。
• Juliaの強力な型システムのおかげで、物理的単位パッケージやその他の数値ツールとの統合に成功している。
• 独立測定値を不確実性伝搬の根拠として用いることで、共分散の手動計算を回避し、構成上正しくなるように保証している。