[論文レビュー] Uncertainty Quantification for Transport in Porous media using Parameterized Physics Informed neural Networks

Cédric Fraces Gasmi, Hamdi A. Tchelepi|arXiv (Cornell University)|May 19, 2022

Reservoir Engineering and Simulation Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不均一な多孔質媒体を通過する二相流における不確実性を定量化するため、パラメータ化された物理情報付きニューラルネットワーク（P-PINN）フレームワークを提案する。流体の性質（体積率、透水率）を確率的変数として扱い、PINNアーキテクチャに確率的入力パラメータを埋め込むことで、時間的・空間的分布における全確率分布の予測を可能にした。この手法は、モンテカルロ法と同等の精度を達成しながら、1000倍以上高速な推論性能を実現した。

ABSTRACT

We present a Parametrization of the Physics Informed Neural Network (P-PINN) approach to tackle the problem of uncertainty quantification in reservoir engineering problems. We demonstrate the approach with the immiscible two phase flow displacement (Buckley-Leverett problem) in heterogeneous porous medium. The reservoir properties (porosity, permeability) are treated as random variables. The distribution of these properties can affect dynamic properties such as the fluids saturation, front propagation speed or breakthrough time. We explore and use to our advantage the ability of networks to interpolate complex high dimensional functions. We observe that the additional dimensions resulting from a stochastic treatment of the partial differential equations tend to produce smoother solutions on quantities of interest (distributions parameters) which is shown to improve the performance of PINNS. We show that provided a proper parameterization of the uncertainty space, PINN can produce solutions that match closely both the ensemble realizations and the stochastic moments. We demonstrate applications for both homogeneous and heterogeneous fields of properties. We are able to solve problems that can be challenging for classical methods. This approach gives rise to trained models that are both more robust to variations in the input space and can compete in performance with traditional stochastic sampling methods.

研究の動機と目的

• 多孔質媒体の不確実性を扱うために、体積率と透水率の確率的変動を確率的場としてモデル化すること。
• 物理情報付きニューラルネットワーク（PINNs）を、不確実性を伴う双曲型偏微分方程式（PDE）のアンサンブル解に拡張すること。
• P-PINNが、Buckley-Leverett問題における体積率とフロント伝播の統計的モーメント（平均と分散）を正確に予測できることを示すこと。
• ニューラルネットワークの補間能力が、不確実性を伴う双曲型PDE問題における解の滑らかさと収束性を向上させることを示すこと。
• 計算効率と精度の観点から、P-PINNの性能を従来のモンテカルロシミュレーションと比較すること。

提案手法

• P-PINNフレームワークは、体積率と透水率を指定された確率分布を有する確率的変数として扱い、入力不確実性をパrameter化する。
• モデルは、非凸な流れ関数を有する双曲型保存則である確率的Buckley-Leverett方程式を、空間、時間、および確率的パラメータの全領域で残差損失を最小化することで解く。
• ガウス過程を用いて指数関数的相関構造を持つ確率的速度場を生成し、確率的場の実現値をサンプリング可能にする。
• ネットワークアーキテクチャは、平均や相関長などの入力パラメータに条件付けられた空間的・時間的分布における体積率（S_w）の全確率分布を予測するように設計されている。
• 損失関数にはPDEの残差と境界・初期条件が含まれており、確率的パラメータはネットワークの入力として明示的に取り入れられている。
• トレーニングは、256グリッドブロックの空間領域と100ステップの時間領域を用い、参照データとしてゴドノフ法を適用した。推論は統計的モーメントと実現値の観点から評価された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P-PINNは、不均一な透水率場を有する確率的Buckley-Leverett問題において、体積率の統計的モーメント（平均と分散）を正確に予測できるか？
• RQ2 確率的入力パラメータ（例えば、速度場の平均と相関長）の組み込みが、PINNモデルの一般化性能と精度に与える影響は何か？
• RQ3 ニューラルネットワークの補間能力が、不確実性を伴う双曲型PDE問題におけるショック波を伴う解の収束性と滑らかさに与える影響は何か？
• RQ4 P-PINNの性能は、不確実性定量化における計算コストと精度の観点から、モンテカルロシミュレーションと比較してどうなるか？
• RQ5 P-PINNは、確率的場の明示的パラメトリック表現が与えられた場合、体積率動的の全アンサンブル実現値を回復できるか？

主な発見

• P-PINNモデルは、5ステップの時間的体積率プロファイルの平均と分散を、有限体積法を用いたモンテカルロシミュレーションの参照結果と非常に近い精度で予測した。
• 相関長 s=1.5 の不均一な確率的場において、P-PINNモデルは1,000回のシミュレーションに要する合計計算時間をモンテカルロ法の86分から16分未満に短縮し、1回あたりの推論時間は10秒未満にまで低下した。
• 確率的パラメータが導入されたことで、ショック波を伴う双曲型問題において、解の収束性と滑らかさが向上した。これは、勾配の急峻さを緩和する正則化効果によるものである。
• 平均速度を低下させたり、速度場の分散を増加させたりした場合、1次モーメント近似の限界により性能劣化が観察された。
• P-PINNフレームワークは、高不確実性下でも、均一および不均一な多孔質媒体におけるショックフロントの伝播と体積率ダイナミクスを的確に捉えた。
• 適切にパrameter化された場合、P-PINNモデルは入力の変動に対して頑健であり、異なる確率的実現値においても一貫した性能を維持した。