[論文レビュー] Uncertainty quantification in geostatistical approach to inverse problems

Arvind K. Saibaba, Peter K. Kitanidis|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Soil Geostatistics and Mapping被引用数 1

ひとこと要約

この論文では、地球統計的逆問題における事後共分散行列の効率的な低ランク近似を提案し、スケーラブルな不確実性評価を可能にしている。事後共分散行列を、ヘシアンと逆共分散行列の支配的一般固有モードから導出された低ランク更新項と事前共分散行列の和として表現することで、パrameter次元に依存しない計算コスト 𝒪(m log m) に低減され、合成トモグラフィー問題において高い精度が示された。

ABSTRACT

We consider the computational challenges associated with uncertainty quantification involved in parameter estimation such as seismic slowness and hydraulic transmissivity fields. The reconstruction of these parameters can be mathematically described as Inverse Problems which we tackle using the Geostatistical approach. The quantification of uncertainty in the Geostatistical approach involves computing the posterior covariance matrix which is prohibitively expensive to fully compute and store. We consider an efficient representation of the posterior covariance matrix at the maximum a posteriori (MAP) point as the sum of the prior covariance matrix and a low-rank update that contains information from the dominant generalized eigenmodes of the data misfit part of the Hessian and the inverse covariance matrix. The rank of the low-rank update is typically independent of the dimension of the unknown parameter. The cost of our method scales as $\bigO(m\log m)$ where $m $ dimension of unknown parameter vector space. Furthermore, we show how to efficiently compute measures of uncertainty that are based on scalar functions of the posterior covariance matrix. The performance of our algorithms is demonstrated by application to model problems in synthetic travel-time tomography and steady-state hydraulic tomography. We explore the accuracy of the posterior covariance on different experimental parameters and show that the cost of approximating the posterior covariance matrix depends on the problem size and is not sensitive to other experimental parameters.

研究の動機と目的

• 地球統計的逆問題における事後共分散行列の完全な計算と保存の計算的非実行可能性に対処すること。
• 地震速度および透水係数場の大きなスケールのパrameter推定におけるスケーラブルな不確実性評価を可能にすること。
• 最小限の計算オーバーヘッドで主要な不確実性情報を捉える低ランク表現の事後共分散を構築すること。
• 合成トモグラフィー問題におけるさまざまな実験パラメータにおいて、手法の正確性と効率性を実証すること。

提案手法

• 事後共分散行列は、事前共分散行列と低ランク更新行列の和として近似される。
• 低ランク更新行列は、データ不適合ヘシアンと逆共分散行列の支配的一般固有モードから構築される。
• 更新のランクは通常、未知パラメータベクトルの次元に依存せず、スケーラビリティを保証する。
• この手法は、パラメータ空間の次元 m に対して、計算コストが 𝒪(m log m) にスケーリングする。
• 分散や信頼区間などの事後共分散のスカラー関数は、低ランク構造を用いて効率的に計算できる。
• 本手法は、合成走時トモグラフィーおよび定常状態の透水係数トモグラフィー問題に対して検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 地球統計的逆問題における事後共分散行列は、完全な計算を伴わずに効率的に近似可能か？
• RQ2 低ランク近似は、さまざまな実験パラメータにおいて不確実性評価の正確性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 提案手法の計算スケーリングは、問題のサイズおよび実験設定に対してどのように変化するか？
• RQ4 低ランク近似の影響にもかかわらず、分散や信頼区間などの不確実性指標が正確に維持できるか？

主な発見

• 事後共分散行列の低ランク近似により、パrameter次元に依存しない計算コストスケーリング 𝒪(m log m) を達成した。
• 低ランク更新のランクは小さく保たれ、問題のサイズに対してほとんど感度を示さず、スケーラビリティが確保された。
• 合成トモグラフィー問題におけるさまざまな実験パラメータにおいて、不確実性評価の高精度が維持された。
• 事後共分散における近似誤差は、実験設計の変更に対して頑健であり、感度が低かった。
• 低ランク構造のおかげで、分散や信頼区間などのスカラー不確実性指標の効率的計算が可能になった。