[論文レビュー] Uncertainty Quantification of the time averaging of a Statistics Computed from Numerical Simulation of Turbulent Flow

Pooriya Beyhaghi, Shahrouz Alimohammadi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、乱流の有限時間平均統計量における期待二乗誤差を推定するためのマルチスケールで漸近的に不偏な不確実性評価（UQ）手法を提案する。複数の時間スケールにおける自己相関構造をモデル化し、収束行動を真のシステムと一致させることで、特に長時間シミュレーションにおいて、既存手法を著しく上回る性能を発揮し、乱流統計のUQにおいて高い精度を実現する。

ABSTRACT

Rigorous assessment of the uncertainty is crucial to the utility of numerical simulation of Turbulent flow. The Turbulent flows are often stationary and ergodic, after some initial transient time. Therefore, the time averaged of a quantity (velocity, TKE (turbulence kinetic energy), total drag, etc) converges to a constant as the averaging interval increases. This infinite-time-average statistic is of particular interest in many problems, such as aerodynamic shape optimization. Since taking an average over the infinite time horizon is not possible, some finite-time approximation of the infinite-time-average statistic of interest is used in practice. However, because of the initial transient behavior of the turbulence simulations, this estimate is biased. This issue is solved by deleting the initial transient part of the simulation. The other important issue is the error of this approximation decreases slowly, like the reciprocal of the square roots of the averaging time. In this paper, we develop a framework to first automatically deleted the transient part of a turbulence simulation, then, quantify precisely the uncertainty of such a finite-time-average approximation of an infinite-time-average statistic of a stationary and ergodic process.

研究の動機と目的

• 統計的に定常でエルゴード的な乱流の有限時間平均統計量における不確実性を評価するという、極めて重要な課題に取り組む。
• シミュレーション長が延びるにつれて精度を維持できない既存のUQ手法の限界を克服する。
• 期待二乗平均誤差が真のシステムと同一の収束速度 $ Q/\sqrt{N} $ で収束する、漸近的に不偏な手法を開発する。
• 正確で適応的なサンプリングを可能にすることで、乱流統計の導出なし最適化における計算効率を向上させる。
• カオス的システム（たとえば乱流）に適用可能な堅牢でデータ駆動型のUQフレームワークを提供する。実用的な実装が可能である。

提案手法

• 長期間にわたる複数の時間スケールにわたる自己相関構造を捉えるために、広範な時間スケールでデータに適合したマルチスケール自己相関モデルを構築する。
• 最大尤度推定法（MLE）を用いて時系列に自己回帰モデル（テストではAR(18)）をフィットさせ、完全な自己相関構造の正確な推定を可能にする。
• UQ計算の前に初期の非定常状態を特定・除去するため、一時的変動検出アルゴリズムを適用する。
• 推定されたモデルから得られる有効な分散時間スケールを組み込んだ、標準誤差式の修正版を用いて、期待二乗平均誤差を推定する。
• モデルの収束速度（$ Q/\sqrt{N} $）を真の元のプロセスと一致させることで、漸近的不偏性を保証する。
• 長時間シミュレーションからの正確な誤差と比較して手法を検証し、$ \mu $、$ \sigma $、および $ \rho(k) $ の既知の値を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標本が独立同分布でない相関のあるデータにおいて、乱流の有限時間平均統計量における不確実性はどのように評価できるか？
• RQ2 幅広いシミュレーション長にわたり精度を維持し、漸近的に不偏となるUQ手法を開発できるか？
• RQ3 提案手法のマルチスケールUQは、特に長時間シミュレーション領域において、既存手法と比べてどのように異なるか？
• RQ4 カオス的・乱流的システムにおける真の平均誤差を捉える点で、MLEに基づくUQに比べてどの程度改善されるか？
• RQ5 本手法は、チャネル流れのDNSのような実際の乱流シミュレーションに、実用的な計算コストで効果的に適用可能か？

主な発見

• 提案手法は、[3]のMLEベース手法と比較して、サンプル数 $ N $ が増加するにつれて、期待二乗平均誤差の推定において著しく優れた性能を示す。
• $ Re_{\tau} = 180 $ のチャネル流れDNSにおいて、本手法の誤差推定値は、はるかに長いシミュレーションから得た真の誤差に非常に近づき、高い精度を実証した。
• 本手法は漸近的に不偏であることが確認され、期待二乗誤差が真のシステムと同一の収束速度 $ Q/\sqrt{N} $ で収束する。これは、競合手法では保証されない性質である。
• マルチスケール自己相関モデルは、乱流信号に見られる長距離相関を効果的に捉えており、単一の統合時間スケールに依存する手法よりも信頼性の高いUQを実現している。
• 本手法は、AR(6)プロセス、Kuramoto-Sivashinsky方程式、および直接数値シミュレーションによるチャネル流れを含む多様なテストケースにおいて、堅牢に機能することが確認された。
• UQ手法および一時的変動検出器のオープンソースPython実装が、https://github.com/salimoha/uq.git で公開されており、再現性の確保と最適化ワークフローへの統合を可能としている。