[論文レビュー] Uncertainty related to position and momentum localization of a quantum state

Łukasz Rudnicki|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、位置と運動量空間における量子状態の局在性を精緻化するため、新しいRényiエントロピーに基づく測度を導入し、既存の境界を改善することで、エントロピー的不確定性関係を精緻化する。特に局在した確率分布に対して、Rényiエントロピーとシャノンエントロピーの和のより緊密な下界を導出し、位置と運動量の局在性の補完性をより正確に定量化する。

ABSTRACT

This paper presents the uncertainty related to position and momentum localization of a quantum state in terms of entropic uncertainty relations. We slightly improve the inequality given in [Phys. Rev. A 74, 052101 (2006)] and introduce a new entropic measure with corresponding uncertainty relation.

研究の動機と目的

• 量子状態における位置と運動量の局在性の補完性を定量化するエントロピー的不確定性関係を精緻化すること。
• 離散的な位置と運動量のビンにおける局在性の性質をよりよく捉えるRényiエントロピーに基づく新しいエントロピー的測度を導入すること。
• Maassen-Uffink や Deutsch の既存の不等式と比較して、Rényi エントロピーとシャノンエントロピーの和のより緊密な下界を導出すること。
• 観測可能度の自由度をトレースすることで、観測可能度固有の情報を分離し、ビン確率にのみ注目すること。
• 標準的な境界が負になってしまう場合でも意味を持つ、量子状態局在性における不確実性の定量的枠組みを提供すること。

提案手法

• 位置と運動量の局在性における不確実性を測定するために、Rényiエントロピー $ H_{\alpha}^{(P)} = \frac{1}{1-\alpha} \ln \left[ \sum_i P_i^\alpha \right] $ を用いる。
• Rieszノルム不等式とユニタリ変換を適用して、一般化されたエントロピー的不確定性関係 $ H_{\alpha}^{(A)} + H_{\beta}^{(B)} \geq -2\ln c_U $ を導出する。ここで $ c_U = \sup |U_{kmln}| $ である。
• 位置と運動量の基底状態の重なりの上限として新しい測度 $ C_{\text{max}} $ を導入し、より緊密なMaassen-Uffink型不等式を導出する。
• 観測可能度の自由度をトレースして、純粋な局在確率 $ q_k = \int_{\text{bin } k} |\psi(x)|^2 dx $ と $ p_l = \int_{\text{bin } l} |\tilde{\psi}(p)|^2 dp $ を定義する。
• Jensenの不等式とBeckner不等式を適用して、$ \left( \sum q_k^\alpha \right)^{1/\alpha} $ と $ \left( \sum p_l^\beta \right)^{1/\beta} $ の境界を連結し、新たな不確実性境界を導出する。
• Rényiエントロピーの和の新たな下界を導出する：$ H_{\alpha}^{(q)} + H_{\beta}^{(p)} \geq -\frac{1}{2}\left( \frac{\ln\alpha}{1-\alpha} + \frac{\ln\beta}{1-\beta} \right) + \ln\pi - \ln\gamma $、ここで $ \gamma $ は状態に依存するパラメータである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子状態の位置と運動量空間における局在性をよりよく反映するように、エントロピー的不確定性関係をどのように改善できるか？
• RQ2 位置と運動量の局在性に関連するRényiエントロピーの和の、最も緊密な可能な下界は何か？
• RQ3 観測可能度固有の詳細から局在情報のみを分離できる新しいエントロピー的測度を定義できるか？
• RQ4 新しい境界は、Maassen-Uffink や Deutsch の既存の不等式と比較して、どのような条件下で優れているか？
• RQ5 波動関数の広がりに関連するパラメータ $ \gamma $ が、不確実性境界の有効性と緊密さにどのように影響するか？

主な発見

• 論文は、新しい測度 $ C_{\text{max}} $ を導入することで、Maassen-Uffink の不確定性関係を改善し、観測可能度に基づく確率に対してより緊密な境界 $ H_{\alpha}^{(A)} + H_{\beta}^{(B)} \geq -2\ln C_{\text{max}} $ を得た。
• 純粋な局在確率 $ q_k $ と $ p_l $ に対して、論文は新たな不確実性境界を導出した：$ S^{(q)} + S^{(p)} \geq -\ln\left[ \min\left\{ \frac{\gamma}{e\pi}, \frac{1}{4}\left(1 + \sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}} R_{00}\left(\frac{\gamma}{4},1\right)\right)^2 \right\} \right] $、これは $ \gamma $ が小さい場合に従来の境界よりも緊密である。
• 新しいRényiエントロピーの境界 $ H_{\alpha}^{(q)} + H_{\beta}^{(p)} \geq -\frac{1}{2}\left( \frac{\ln\alpha}{1-\alpha} + \frac{\ln\beta}{1-\beta} \right) + \ln\pi - \ln\gamma $ は、$ \gamma $ が小さい場合に既存の境界よりも緊密であるが、$ \gamma \geq \frac{\pi}{\alpha} \left(2\alpha - 1\right)^{\frac{2\alpha - 1}{2(\alpha - 1)}} $ のときには負の値をとるようになる。
• シャノンエントロピーの極限（$ \alpha \to 1 $）において、境界は $ \gamma \geq e\pi $ のとき意味を失うため、新しい境界は十分に局在した状態に対してのみ有効であることが示された。
• 導出された境界 $ S^{(q)} + S^{(p)} \geq -\ln\left[ \min\left\{ \frac{\gamma}{e\pi}, \frac{1}{4}\left(1 + \sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}} R_{00}\left(\frac{\gamma}{4},1\right)\right)^2 \right\} \right] $ は、局在性に対して意味のある状態依存の不確実性測度を提供する。
• 本論文は、局在確率のRényiエントロピーの和が、波動関数の $ L^{2\alpha} $ と $ L^{2\beta} $ ノルムとの間でBeckner不等式とパラメータ $ \gamma $ を介して結びついた関数によって下から抑えられることを確立した。