[論文レビュー] Uncertainty Relations for Entangled States

Gustavo Rigolin|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、物理的観測量が置換演算子と可換になるように対称化則を課すことにより、エンタングルド粒子対に対する一般化された不確定性関係を提案する。この関係は、全位置および全運動量演算子から導かれるもので、エンタングルメントが $Δ Q_2 \Delta P_2 < \hbar/2$ をもたらす可能性を示し、キムとシーハのポッパー型実験のような条件付き測定において、標準的なハイゼンベルク限界に挑戦する。

ABSTRACT

A generalized uncertainty relation for an entangled pair of particles is obtained if we impose a symmetrization rule for all operators that we should use when doing any calculation using the entangled wave function of the pair. This new relation reduces to Heisenberg's uncertainty relation when the particles have no correlation and suggests that we can have new lower bounds for the product of position and momentum dispersions.

研究の動機と目的

• エンタングルド光子を用いたキムとシーハのポッパー型実験におけるハイゼンベルク不確定性原理の顕在的違反を、非局所性や測定のぼやけを仮定せずに解明すること。
• 置換演算子と非可換な観測量をもつ系に単一粒子の不確定性関係を適用する際の不適切さを扱うこと。
• 置換演算子と可換な物理的観測量に基づく新しい不確定性関係を確立し、量子力学的対称化則と整合性を保つこと。
• エンタングルメントが量子共分散項を導入し、標準的な不確定性限界を変更し、分散の積を低減可能にすることを示すこと。
• 個々の粒子演算子ではなく、全系の観測量を用いた、エンタングルド系における条件付き測定を分析する理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 物理的観測量を、系内すべての置換演算子と可換である演算子として定義し、同一粒子の対称化仮説と整合性を保つようにする。
• 置換演算子 $P_{21}$ と可換であるため、物理的観測量として全位置 $Q(1,2) = Q(1)\otimes\mathcal{I}_2 + \mathcal{I}_1\otimes Q(2)$ および全運動量 $P(1,2) = P(1)\otimes\mathcal{I}_2 + \mathcal{I}_1\otimes P(2)$ を導入する。
• 物理的観測量のみを用いて、一般化された不確定性関係 $(\Delta Q(1,2))^2(\Delta P(1,2))^2 \geq \frac{1}{4}|\langle [Q(1,2), P(1,2)] \rangle|^2 = \frac{\hbar^2}{4}$ を導出する。
• 個々の粒子の分散および共分散を用いて不確定性関係を表現する：$(\Delta Q_1)^2 + (\Delta Q_2)^2 + 2(\langle Q_1 Q_2 \rangle - \langle Q_1 \rangle\langle Q_2 \rangle)$ および同様に運動量についても同様に表現し、エンタングルメント効果を捉える。
• $k_1 + k_2 = 0$ を満たす対称なエンタングルド1次元波動関数 $\Psi(x_1,x_2,0)$ に適用し、$\langle x_1 x_2 \rangle = \frac{k_0^2 a^4}{2}$ および $\langle p_1 p_2 \rangle = -2\hbar^2 k_0^2$ を計算することで、非ゼロの量子共分散を確認する。
• エンタングルメントに起因する共分散項のおかげで、結果の不確定性限界（式8）がハイゼンベルクの関係と異なることが示され、$\Delta Q_2 \Delta P_2 < \hbar/2$ が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キムとシーハのエンタングルド光子実験におけるハイゼンベルク不確定性原理の顕在的違反は、非局所性や測定のぼやけを仮定せずに説明可能か？
• RQ2 同一粒子の多体系に量子力学を適用する際、正しい不確定性関係の形は何か？
• RQ3 対称化則および置換対称性は、多体系量子系における物理的観測量の選択をどのように制約するか？
• RQ4 エンタングルメントは、標準的な $\hbar/2$ 限界を下回る位置と運動量の分散積を生じさせ得るか？
• RQ5 量子共分散関数 $\langle Q_1 Q_2 \rangle - \langle Q_1 \rangle\langle Q_2 \rangle$ および $\langle P_1 P_2 \rangle - \langle P_1 \rangle\langle P_2 \rangle$ は、エンタングルド状態の不確定性関係をどのように変更するか？

主な発見

• エンタングルド粒子の一般化された不確定性関係は、置換演算子 $P_{21}$ と可換である全系観測量 $Q(1,2)$ および $P(1,2)$ を用いて導出され、量子力学的対称化則と整合的である。
• 導出された関係（式8）は、明示的に量子共分散項 $\langle Q_1 Q_2 \rangle - \langle Q_1 \rangle\langle Q_2 \rangle$ および $\langle P_1 P_2 \rangle - \langle P_1 \rangle\langle P_2 \rangle$ を含んでおり、これは分離状態（非エンタングルド状態）でのみ消える。
• 対称エンタングルド波動関数（式11）において、位置の共分散は $\langle x_1 x_2 \rangle = \frac{k_0^2 a^4}{2}$ であり、運動量の共分散は $\langle p_1 p_2 \rangle = -2\hbar^2 k_0^2$ であるため、非ゼロのエンタングルメント効果が確認される。
• この関係により、キムとシーハの実験における仮想スリット状況のような条件付き測定において $\Delta Q_2 \Delta P_2 < \frac{\hbar}{2}$ が可能になる。この場合、片方の光子の位置はもう片方の光子との一致を用いて推定される。
• 標準的なハイゼンベルク不確定性関係は、個々の粒子演算子 $Q(i)$ および $P(i)$ が置換演算子と非可換であるため、エンタングルド系には適用できない。したがって、これらは物理的観測量ではない。
• 本稿は、エンタングルメントが分散積の新たな下限を導入することを結論づけ、このような状態は運動量の不確定性が発散しないまま、最小の位置不確定性を持つことができることを示し、不確定性原理の従来の解釈に挑戦する。