[論文レビュー] Unconditional superconvergence analysis of a linearized Crank-Nicolson Galerkin FEM for generalized Ginzburg-Landau equation

Meng Li, Dongyang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2018

Numerical methods for differential equations被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたギンツブルグ＝ランダウ方程式（GLE）に線形化されたクランク＝ニコルソンガラーキン有限要素法（FEM）を適用した、非制限的スーパーコンバージェンス解析を提示する。双一次要素を用いた時間離散化および時間・空間両方の離散化スキームを組み合わせることで、時間刻みの制限なしに最適な誤差推定式 $O(\tau^2 + h^2)$ を得た。これは $H^1$-ノルムにおけるものであり、補間後処理によるグローバルスーパーコンバージェンスを伴い、大きな時間刻みでも収束性が保証されることを確認した。

ABSTRACT

In this paper, a linearized Crank-Nicolson Galerkin finite element method (FEM) for generalized Ginzburg-Landau equation (GLE) is considered, in which, the difference method in time and the standard Galerkin FEM are employed. Based on the linearized Crank-Nicolson difference method in time and the standard Galerkin finite element method with bilinear element in space, the time-discrete and space-time discrete systems are both constructed. We focus on a rigorous analysis and consideration of unconditional superconvergence error estimates of the discrete schemes. Firstly, by virtue of the temporal error results, the regularity for the time-discrete system is presented. Secondly, the classical Ritz projection is used to obtain the spatial error with order $O(h^2)$ in the sense of $L^2-$norm. Thanks to the relationship between the Ritz projection and the interpolated projection, the superclose estimate with order $O(τ^2 + h^2)$ in the sense of $H^1-$norm is derived. Thirdly, it follows from the interpolated postprocessing technique that the global superconvergence result is deduced. Finally, some numerical results are provided to confirm the theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 一般化されたギンツブルグ＝ランダウ方程式（GLE）に対して、安定性と収束性を向上させた線形化クランク＝ニコルソンガラーキンFEMの開発。
• 非線形問題で一般的な時間刻みの制限を除去した、非制限的スーパーコンバージェンス誤差推定の確立。
• リッツ射影および補間後処理技術を用いて、時間的および空間的誤差成分を厳密に分析。
• 変動する時間刻みおよびメッシュサイズの下で理論的結果を数値実験により確認。

提案手法

• 非線形項を分離することで反復解法を回避するため、時間方向に線形化クランク＝ニコルソンスキームを適用。
• 空間方向に標準的なガラーキンFEMと双一次有限要素を用い、完全離散系を構築。
• リッツ射影作用素 $R_h$ を用いて、$L^2$-ノルムにおける空間誤差推定 $O(h^2)$ を導出。
• リッツ射影と補間作用素 $I_h$ 間の関係を活用し、$H^1$-ノルムにおける $O(\tau^2 + h^2)$ のスーパーローズ推定を確立。
• $I_{2h}^2$ を用いた補間後処理を適用し、$H^1$-ノルムにおけるグローバルスーパーコンバージェンスを達成。
• 時間・空間誤差分解技術を用いて、時間的および空間的誤差を分離し、グリッド比制約なしに非制限的解析を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたギンツブルグ＝ランダウ方程式に対して、線形化クランク＝ニコルソンガラーキンFEMを用いて非制限的スーパーコンバージェンスを達成できるか？
• RQ2 最適な時間および空間離散化のもとで、離散解の $H^1$-ノルムにおける収束速度は何か？
• RQ3 リッツ射影および補間後処理は、時間刻みの制限なしにどのようにスーパーコンバージェンスを実現するか？
• RQ4 数値的に確認されたように、本手法は大きな時間刻みでも安定性と精度を維持できるか？

主な発見

• 時間誤差は $H^2$-ノルムにおいて $O(\tau^2)$ で有界であり、頑健なスーパーコンバージェンス解析が可能である。
• リッツ射影を用いた空間誤差は $L^2$-ノルムで $O(h^2)$ の収束を達成する。
• 離散解とリッツ射影の間の $H^1$-ノルムにおけるスーパーローズ推定 $O(\tau^2 + h^2)$ が導出された。
• 補間後処理技術により、$\|u^n - I_{2h}^2 U_h^n\|_1 = O(\tau^2 + h^2)$ のグローバルスーパーコンバージェンス誤差が得られた。
• 数値結果により、複数の時間刻み（$\tau = 20h$ を含む）において理論的収束速度が確認され、非制限的安定性が検証された。
• $\tau = O(h^d)$ のような時間刻み制約を要せず、最適収束率を達成しており、非制限的スーパーコンバージェンスが実証された。