[論文レビュー] Unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis Property of order $p$

Dongyang Chen, Javier Alejandro Chávez‐Domínguez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全連続作用素および絶対的収束作用素の一般化として、無条件的 $p$-収束作用素と、順序 $p$ のDunford-Pettis性質を定義し、その特徴付けをした。これらの概念に対する新たな定量的尺度を確立し、作用素が無条件的 $p$-収束的であるまでの距離を測る六つの同値なノルムを提供した。また、特定の条件下で第二随伴作用素において性質が保たれることを示し、古典的作用素論を $p$-バナッハ空間設定に拡張する際に、明確な定量的推定を可能にした。

ABSTRACT

In the present paper we study unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis property of order $p$. New characterizations of unconditionally $p$-converging operators and Dunford-Pettis property of order $p$ are established. Six quantities are defined to measure how far an operator is from being unconditionally $p$-converging. We prove quantitative versions of relationships of completely continuous operators,unconditionally $p$-converging operators and unconditionally converging operators. We further investigate possible quantifications of the Dunford-Pettis property of order $p$.

研究の動機と目的

• 完全連続作用素および無条件収束作用素の一般化として、無条件的 $p$-収束作用素を定義し、その特徴付けを行う。
• 順序 $p$ のDunford-Pettis性質（$DPP_p$）を導入し、その遺伝的および上への射影的変種を研究する。
• 作用素の無条件的 $p$-収束度を測る六つの同値な定量的測度を開発する。
• 弱い $p$-コーシー列および弱い $p$-有界集合を用いて、$DPP_p$ の位相的およびノルム的特徴付けを提供する。
• 完全連続作用素、無条件的 $p$-収束作用素、および無条件収束作用素の間の定量的関係を確立する。

提案手法

• 無条件的 $p$-可 summable 列の空間 $l^u_p(X)$ を導入し、弱い $p$-可 summable 列への作用に基づいて、無条件的 $p$-収束作用素を定義する。
• 作用素 $T$ が無条件的 $p$-収束的でない度合いを測る六つの新しい量 $uc_p^i(T)$, $i=1,\dots,6$ を定義する。
• $(σ(l_{p^*},l_p)$-連続作用素と弱い $p$-可 summable 列の間の標準的同型を用いて、作用素の性質と列の性質を関連付ける。
• 弱い $p$-コーシー列の位相的収束を特徴付けるために、双対空間に新たな局所凸位相を導入する。
• $p=1$ の場合に $uc_p^6(T)$ が [20] で定義された無条件収束を測る量と一致することを証明し、先行研究と整合性を保証する。
• 弱い $^*$-幅 $wk_{X^*}(A)$ と新しいノルム $uc_p^i(T)$ を含む条件の同値性を確立し、古典的定理の定量的版を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素が無条件的 $p$-収束的であるための必要十分条件は何か。また、その性質はどのように定量的に測定できるか。
• RQ2 順序 $p$ のDunford-Pettis性質は、双対空間における弱い $p$-コーシー列および弱い $p$-有界集合とどのように関係するか。
• RQ3 古典的Dunford-Pettis性質は $p$-バナッハ空間設定に一般化可能か。また、$H^1$ や $Λ(W,1)$ のような古典的空間に与える影響は何か。
• RQ4 作用素の第二随伴とその無条件的 $p$-収束性の関係は何か。また、$T$ から $T^{**}$ に性質が持ち上がる条件は何か。
• RQ5 六つの新しい量 $uc_p^i(T)$ は、既存のコンパクト性および収束の測度とどのように比較できるか。また、それらは同値か。

主な発見

• 六つの量 $uc_p^i(T)$（$i=1,\dots,6$）は同値であり、無条件的 $p$-収束作用素の完全な定量的特徴付けを提供する。
• $p=1$ の場合、$uc_p^6(T)$ は [20] で定義された無条件収束を測る量と一致する。これにより、先行研究と整合性が保証される。
• 任意の作用素 $T: X \to Y$ に対して $uc_p^6(T) \leq C \cdot wk_{X^*}(T^*)$ が成り立つのは、$X$ が定数 $C$ を用いた定量的 $DPP_p$ を持つとき、かつそのときに限る。
• バナッハ空間 $X$ が遺伝的 $DPP_p$ を持つための必要十分条件は、$X$ 内の任意の弱い $p$-可 summable 列が弱い $1$-可 summable 部分列を含むことである。
• $X^{**}$ が定量的 $DPP_p$ を持つならば、$X$ は制御された定数を用いてその性質を継承する：条件 (1)～(5) に対しては $16C$、条件 (3) に対しては $C$。
• 任意の閉部分空間 $X \subset Y$ に対して不等式 $wk_Y(A) \leq wk_X(A) \leq 2wk_Y(A)$ が成り立つ。これは、$X^{**}$ から $X$ への $DPP_p$ 性質の移行に不可欠である。