[論文レビュー] Understanding Basic Concepts of Topological Insulators Through Su-Schrieffer-Heeger (SSH) Model

Navketan Batra, Goutam Sheet|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Topological Materials and Phenomena参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一様なヘッジの強さが交互に変化する一次元鎖がトポロジカルな相転移を示すことを示すために、Su-Schrieffer-Heeger (SSH) モデルを用い、トポロジカル絶縁体の基本的概念を導入している。ホモトピー数——トポロジカル不変量——を計算することで、非ゼロの値がロバストなエッジ状態を予測することを示しており、これは、バルクのバンド構造が同一に見える場合でも、トポロジカルに非自明な絶縁体と自明な絶縁体を区別する。

ABSTRACT

Topological insulators are a new class of materials that have attracted significant attention in contemporary condensed matter physics. They are different from the regular insulators and they display novel quantum properties that also involve the idea of `topology', an area of mathematics. Some of the fundamental ideas behind the topological insulators, particularly in low-dimensional condensed matter systems such as poly-acetylene chains, can be understood using a simple one-dimensional toy model popularly known as the Su-Schrieffer-Heeger model or the SSH model. This model can also be used as an introduction to the topological insulators of higher dimensions. Here we give a concise description of the SSH model along with a brief review of the background physics and attempt to understand the ideas of topological invariants, edge states, and bulk-boundary correspondence using the model.

研究の動機と目的

• . トポロジカル絶縁体を教育的ツールとして用いるために、SSH モデルを導入すること。
• . ホモトピー数のようなトポロジカル不変量が、絶縁相を分類する役割を説明すること。
• . ダイマー化された鎖におけるエッジ状態の局在化を通じて、バルク-境界対応を実証すること。
• . 最小限のモデルを用いて、自明なトポロジカル絶縁体と非自明なトポロジカル絶縁体の違いを明確にすること。
• . 抽象的なトポロジカル概念を、ゼロエネルギーのエッジ状態のような観測可能な物理現象と結びつけること。

提案手法

• . 交互に変化する hopping 統合 v と w を持つ一次元のダイマー化鎖のタイトビンディングハミルトニアンを構築する。
• . 周期的境界条件の下でハミルトニアンを対角化し、バルクのエネルギー分散関係を求める。
• . ブロウーク波動関数のブリユアンゾーンを一周する際の位相の変化から導かれるトポロジカル不変量としてのホモトピー数 ν を導入する。
• . 開いた境界条件の下で系を解析し、ν ≠ 0 のとき、ゼロエネルギーの局在エッジ状態が現れることを明らかにする。
• . v < w（非自明、ν = 1）と v > w（自明、ν = 0）の両方の状況を比較し、エッジ状態が非自明な相でのみ出現することを示す。
• . 波動関数のプロットを用いて、エッジ状態が鎖の端に指数関数的に局在していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . SSH モデルは、簡単な一次元系においてどのようにトポロジカル相の出現を示すか？
• RQ2 . ホモトピー数が、絶縁相を区別するトポロジカル不変量として果たす役割は何か？
• RQ3 . エッジ状態を通じて、SSH モデルにおけるバルク-境界対応はどのように現れるか？
• RQ4 . 類似したバンド構造を持つ二つの絶縁相が境界を伴う場合に、なぜ物理的に異なるのか？
• RQ5 . ギャップを持つ系において、非ゼロのホモトピー数がもたらす物理的結果は何か？

主な発見

• . SSH モデルは、hopping 統合の比 w/v が 1 を超えると、ホモトピー数 ν の変化を伴うトポロジカル相転移を示す。
• . ホモトピー数 ν = 1 は、バルクのトポロジカル不変量として、ロバストなゼロエネルギーのエッジ状態を支持するトポロジカルに非自明な相に対応する。
• . v < w のとき、系はエッジ状態を有するが、v > w のとき、すべての状態は拡散し、ν = 0 のトポロジカルに自明な系となる。
• . エッジ状態の存在は、バルクのトポロジカル不変量によって直接予測され、バルク-境界対応が確認される。
• . ホモトピー数 ν は、バンドギャップが開いている限り、ハミルトニアンの連続的変形に対して不変である、ロバストな不変量である。
• . エッジ状態の波動関数は、鎖の端に指数関数的に局在しており、そのトポロジカル保護が確認される。