[論文レビュー] Understanding Quantum Theory in Terms of Geometry

Fatimah Shojai, Ali Shojai|ArXiv.org|Apr 24, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、de Broglie–Bohm理論における量子ポテンシャルを時空幾何の共形自由度として解釈することにより、量子力学と重力の幾何的統一を提案する。Weyl幾何学とスカラー・テンソル理論を用いて、Weyl不変な作用からボームの運動方程式を導出し、量子効果が幾何学的に生じることを示し、アンサンブル問題を解決する。主な結果は、量子現象が時空の共形構造に符号化された統一的枠組みが得られ、宇宙論的およびブラックホール的応用に影響を及ぼす点である。

ABSTRACT

Understanding quantum theory in terms of a geometric picture sounds great. There are different approaches to this idea. Here we shall present a geometric picture of quantum theory using the de-Broglie--Bohm causal interpretation of quantum mechanics. We shall show that it is possible to understand the key character of de-Broglie--Bohm theory, the quantum potential, as the conformal degree of freedom of the space--time metric. In this way, gravity should give the causal structure of the space--time, while quantum phenomena determines the scale. Some toy models in terms of tensor and scalar--tensor theories will be presented. Then a few essential physical aspects of the idea including the effect on the black holes, the initial Big--Bang singularity and non locality are investigated. We shall formulate a quantum equivalence principle according to which gravitational effects can be removed by going to a freely falling frame while quantum effects can be eliminated by choosing an appropriate scale. And we shall see that the best framework for both quantum and gravity is Weyl geometry. Then we shall show how one can get the de-Broglie--Bohm quantum theory out of a Weyl covariant theory. Extension to the case of many particle systems and spinning particles is discussed at the end.

研究の動機と目的

• de Broglie–Bohm理論における量子ポテンシャルの概念的問題を、これを時空の共形的性質として幾何化することで解決すること。
• 量子効果が非局所性や波動関数の崩壊ではなく、時空の共形構造から生じることを示すことにより、量子力学と重力を統一すること。
• 重力が座標変換によって消去可能であるのと同様に、スケール変換によって量子効果を局所的または大域的に消去可能な一般化された等価原理を定式化すること。
• 量子ポテンシャルの正しい形が手動で導入されるのではなく、運動方程式から動的に生成されるスカラー・テンソル理論を構築すること。
• 多粒子系およびスピンを有する粒子への形式的拡張を行い、宇宙論およびブラックホールへの応用を試みること。

提案手法

• de Broglie–Bohm理論における量子ポテンシャルを、時空計量の共形因子として表現し、これを時空幾何と結びつける。
• スケール不変性が量子効果を共形構造に符号化できるため、Weyl幾何学を自然な数学的枠組みとして用いる。
• Weyl不変な作用関数を構築し、変分原理を適用することで、単一粒子に対する正しいボームの運動方程式が得られることを示す。
• 動的スカラー場と宇宙定数にカップルされたスカラー場を有するスカラー・テンソル理論を導入し、量子ポテンシャルが場の運動方程式から自然に導かれるようにする。
• 曲がった時空における玩具モデルに形式的枠組みを適用し、共形的に平坦な解および準古典的解を用いて、既知の量子挙動と整合することをテストする。
• 一般化された等価原理を用いて、重力的効果が微分同相変換によって消去可能であるように、量子的効果がスケール変換によって局所的または大域的に消去可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Broglie–Bohm理論における量子ポテンシャルを、時空の幾何的性質として、具体的には計量の共形因子として解釈できるか？
• RQ2 量子ポテンシャルが予め仮定されるのではなく、場の運動方程式から動的に生じるようなスカラー・テンソル理論をどのように構築できるか？
• RQ3 Weyl不変な量子重力枠組みが宇宙論的応用に与える影響は何か。特に、宇宙定数および重力定数の時間依存性に関して。
• RQ4 この枠組みにおいて、量子幾何的効果が初期ビッグバン特異点を解消できるか？
• RQ5 Weyl幾何学において、量子力学の非局所性はどのように幾何学的に表現され、局所因果性と調和させられるか？

主な発見

• 量子ポテンシャルは、時空計量の共形因子として幾何学的に実現され、量子ポテンシャルが時空幾何の性質となることでアンサンブル問題が解決される。
• Weyl不変な作用関数が正しいボームの運動方程式を自然に導出し、量子力学的ダイナミクスが幾何的不変性から生じることを示している。
• 宇宙論的応用において、理論は宇宙定数および重力定数が時間とともに減少することを予測し、これらの定数の小ささの問題に対する解決策を提供する。
• 初期ビッグバン特異点は、玩具モデルの共形的準古典的解において、量子幾何的効果によって除去されている。
• この枠組みにおけるブラックホール解は、共形構造の影響により修正された熱力学的性質を示し、情報パラドックスの問題の解決可能性を示唆している。
• 一般化された等価原理が定式化された：重力的効果は微分同相変換によって消去可能であり、量子的効果はスケール変換によって消去可能である。これにより、Weyl幾何学において重力と量子力学が統一される。