[論文レビュー] Understanding Space in Proof Complexity: Separations and Trade-offs via Substitutions

Eli Ben‐Sasson, Jakob Nordstr”öm|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2010

Formal Methods in Verification参考文献 42被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、変数置換を用いて、一般の長さ-空間のトレードオフを解明し、証明長を維持しながら空間要件を顕著に削減できるように、論理式を変換できることを示した。主な貢献は、解像度における長さと空間のタイトな超多項式トレードオフを確立し、k-DNF解像度へと拡張し、証明システムにおける階層とトレードオフに関する未解決の問題を解決したことである。

ABSTRACT

For current state-of-the-art DPLL SAT-solvers the two main bottlenecks are the amounts of time and memory used. In proof complexity, these resources correspond to the length and space of resolution proofs. There has been a long line of research investigating these proof complexity measures, but while strong results have been established for length, our understanding of space and how it relates to length has remained quite poor. In particular, the question whether resolution proofs can be optimized for length and space simultaneously, or whether there are trade-offs between these two measures, has remained essentially open. In this paper, we remedy this situation by proving a host of length-space trade-off results for resolution. Our collection of trade-offs cover almost the whole range of values for the space complexity of formulas, and most of the trade-offs are superpolynomial or even exponential and essentially tight. Using similar techniques, we show that these trade-offs in fact extend to the exponentially stronger k-DNF resolution proof systems, which operate with formulas in disjunctive normal form with terms of bounded arity k. We also answer the open question whether the k-DNF resolution systems form a strict hierarchy with respect to space in the affirmative. Our key technical contribution is the following, somewhat surprising, theorem: Any CNF formula F can be transformed by simple variable substitution into a new formula F' such that if F has the right properties, F' can be proven in essentially the same length as F, whereas on the other hand the minimal number of lines one needs to keep in memory simultaneously in any proof of F' is lower-bounded by the minimal number of variables needed simultaneously in any proof of F. Applying this theorem to so-called pebbling formulas defined in terms of pebble games on directed acyclic graphs, we obtain our results.

研究の動機と目的

• 解像度証明における長さと空間を同時に最適化できるか、それとも本質的なトレードオフが存在するかという長年の未解決問題を解消すること。
• 解像度およびk-DNF解像度システムの空間複雑度の全範囲にわたる、一般的かつタイトな長さ-空間トレードオフを確立すること。
• k-DNF解像度システムが空間複雑度に関して厳密な階層を形成することを証明すること。
• 証明長を増加させることなくメモリ要件を削減できる、新しい変換技術（変数置換）を考案すること。

提案手法

• 証明長を維持しつつ、証明の長さが同じでF'に変換できるCNF論理式Fを変換する変数置換技術を導入する。
• F′を証明するために必要な最小空間が、Fの任意の証明において同時に使用される変数の最小数によって下界づけられることを証明する。
• 有向非巡回グラフおよびペブルゲームから導かれるペブリング式にこの変換を適用し、トレードオフを確立する。
• DAGのペブリング複雑度を用いて、既知の空間および長さの性質を持つ論理式を構築し、正確なトレードオフ分析を可能にする。
• 既知のブラックホワイトペブリングおよび空間複雑度の結果を活用し、解像度空間の下界を導出する。
• 同じトレードオフが成り立つが、パラメータはより悪いことから、k-DNF解像度システムへの結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解像度証明は、短い長さと小さな空間を同時に最適化できるか、それとも本質的なトレードオフが存在するか？
• RQ2 解像度証明複雑度において、長さと空間の間には超多項式的または指数的分離が存在するか？
• RQ3 k-DNF解像度システムは、空間複雑度に関して厳密な階層を形成するか？
• RQ4 証明長を増加させることなく、構造的変換によって解像度証明の空間複雑度を低減できるか？
• RQ5 DAG上のペブリング式は、解像度における長さ-空間トレードオフとどのように関係するか？

主な発見

• この論文は、解像度において超多項式的長さ-空間トレードオフを確立し、短い証明が大きな空間を要し、逆に逆に長い証明が小さな空間で可能となるような論理式が存在することを示した。
• 変数置換による変換は証明長を維持しながら、必要な最小空間を削減でき、このようなトレードオフを生成する一般的手法を提供する。
• DAG上のペブリング式では、トレードオフは本質的にタイトであり、空間複雑度は根本的なグラフのペブリング数に直接関連している。
• 結果はk-DNF解像度システムへと拡張され、同様に長さ-空間トレードオフを示したが、パラメータはより悪い。
• この論文は、k-DNF解像度システムが空間複雑度に関して厳密な階層を形成することを確認し、未解決の問題に肯定的に答えを出した。
• 変換された論理式F′を証明するために必要な最小空間は、元の論理式Fの任意の証明において同時に使用される変数の最小数によって下界づけられる。