[論文レビュー] Understanding the non-Gaussian nature of reactive solute transport. From particle dynamics to the partial differential equations

Gerard Uffink, Amro Elfeki+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2011

Groundwater flow and contamination studies参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、均質な多孔質媒体における反応性溶質移動を厳密に記述する確率的粒子モデルを提示する。移動・拡散を確率的ランダムウォークで、吸着/脱吸着をマルコフ過程で表現し、基礎から偏微分方程式を導出する。反応性吸着が単独で存在する場合、非ガウス的拡散（尾びれ、「シガーパターン」のプルーム）を引き起こすが、長時間経過すると漸近的にガウス的挙動に収束する。

ABSTRACT

In the present study we examine non-Gaussian spreading of solutes subject to advection, dispersion and kinetic sorption (adsorption/desorption). We start considering the behavior of a single particle and apply a random walk to describe advection/dispersion plus a Markov chain to describe kinetic sorption. We show in a rigorous way that this model leads to a set of differential equations. For this combination of stochastic processes such a derivation is new. Then, to illustrate the mechanism that leads to non-Gaussian spreading we analyze this set of equations at first leaving out the Gaussian dispersion term (microdispersion). The set of equations now transforms to the telegrapher's equation. Characteristic for this system is a longitudinal spreading, that becomes Gaussian only in the long-time limit. We refer to this as kinetics induced spreading. When the microdispersion process is included back again, the characteristics of the telegraph equations are still present. Now two spreading phenomena are active, the Gaussian microdispersive spreading plus the kinetics induced non-Gaussian spreading. In the long run the latter becomes Gaussian as well. Another non-Gaussian feature shows itself in the 2D situation. Here, the lateral spread and the longitudinal displacement are no longer independent, as should be the case for a 2D Gaussian spreading process. In a displacing plume this interdependence is displayed as a `tailing' effect. We also analyze marginal and conditional moments, which confirm this result. With respect to effective properties (velocity and dispersion) we conclude that effective parameters can be defined properly only for large times (asymptotic times). In the two-dimensional case it appears that the transverse spreading depends on the longitudinal coordinate. This results in `cigar-shaped' contours.

研究の動機と目的

• 均質な水中で反応性溶質移動の厳密な確率的基礎を確立し、粒子追跡法がPDEの類似物に過ぎないという仮定に挑戦する。
• 媒体の不均一性が存在しない状況下で、反応性吸着が尾びれや非対称なプルーム形状といった非ガウス的拡散パターンをどのように生成するかを調査する。
• 確率的ランダムウォークとマルコフ的吸着/脱吸着を組み合わせた単一粒子確率モデルから、正確な偏微分方程式を導出する。
• モーメント（特に歪度と尖度）の時間的変化を分析し、有効輸送パラメータ（速度、分散）が漸近的でない段階で時間依存的であることを示す。
• 2次元で「シガーパターン」のプルーム形状が生じる理由を明らかにし、縦方向位置に依存する横方向拡散が反応性効果によって引き起こされることを示す。

提案手法

• 移動・拡散を離散時間のランダムウォークで、吸着/脱吸着を2状態のマルコフ連鎖で表現する単一溶質粒子モデルを構築する。
• モーメント生成関数とラプラス変換を用いて、確率的粒子モデルから支配的偏微分方程式系を導出する。
• 微小拡散を無視した極限としてテレグラファー方程式を分析し、移動状態と不動状態の間の反応性スイッチングが非ガウス的拡散を引き起こすことを示す。
• 特に2次元における条件付きモーメントと周辺モーメントを用いて、1次元や周辺分布では見えない非ガウス的挙動を検出する。
• 確率的モデルに一般化された中心極限定理を適用し、長時間でガウス的挙動に漸近収束することを正当化する。
• 有効縦方向拡散係数を定量的に評価し、標準的水理的拡散に加え、$v^2rac{ u heta}{( u+ heta)^3}$に比例する非線形項が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反応性吸着を含む確率的粒子モデルから、事後に等価性を仮定するのではなく、直接的に移動・拡散・反応のPDEを厳密に導出できるか？
• RQ2 媒体の不均一性が存在しない均質媒体で反応性吸着のみが非ガウス的拡散を引き起こす原因は何か？これはガウス的拡散とどのように異なるか？
• RQ3 2次元において縦方向と横方向拡散が相互に依存する仕組みが「シガーパターン」のプルーム形状を生じる仕組みは何か？これによりモーメントベースの診断にどのような意味があるか？
• RQ4 有効輸送パラメータ（速度および分散）が定常的になる時間スケールは何か？この臨界時間はどのように決定されるか？
• RQ5 微小拡散項では線形に依存するが、反応性吸着領域では有効縦方向拡散係数が流速の2次関数に依存する理由は何か？

主な発見

• 粒子の運動をランダムウォークと2状態マルコフ過程による反応性吸着でモデル化することで、粒子運動とPDEの等価性を証明し、支配的PDEの厳密な導出に成功した。
• 反応性吸着が単独で存在する場合、『反応性誘発拡散』メカニズムによって非ガウス的拡散（尾びれ、非ガウス的尖度）が生じるが、これは媒体の不均一性がなくても観測可能である。
• 2次元の場合、吸着状態にいる時間の差が縦方向位置に依存するため、横方向拡散が縦方向座標に依存し、「シガーパターン」のプルーム形状が生じる。
• 有効縦方向拡散係数には、反応性吸着動態に起因する追加の項 $v^2rac{ u heta}{( u+ heta)^3}$ が含まれており、これは速度の2次関数に比例する。
• 有効パラメータが安定化するまでの臨界時間は約 $3/( u + heta)$ であり、これは注入直後には定常的有効分散を仮定できないことを示している。
• 2次元における条件付きモーメントは、1次元や周辺モーメントでは見えない非ガウス的挙動を明らかにし、歪度と尖度が漸近的でない段階の診断に不可欠であることを確認した。