[論文レビュー] Une caracterisation des endomorphismes de Lattes par leur mesure de Green

François Berteloot, Christophe Dupont|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ の正則自己準同型写像のうち、極大エントロピー測度がLebesgue測度に関して絶対連続であるようなものについて、それが唯一Latt`es自己準同型写像であることを証明している。著者らは、高次元ではKoebe型定理が成立しないという問題を回避するための新規な局所線形化技法を用い、Green測度の絶対連続性が自己準同型写像がLatt`es型でなければならないことを示した。これにより、測度のHausdorff次元が最大で、リヤプノフ指数が最小であるといった極値的力学的性質によってこれらの写像が特徴づけられる。

ABSTRACT

We show that the Lattes endomorphisms are the only holomorphic endomorphisms of the complex k-dimensional projective space whose measure of maximal entropy is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. As a consequence, Lattes endomorphisms are also characterized by other extremal properties as the maximality of the Hausdorff dimension of their measure of maximal entropy or the minimality of their Liapounov exponents. Our proof uses a linearization method which is of independant interest and a previous characterization by the regularity of the Green current.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ の正則自己準同型写像のうち、極大エントロピー測度がLebesgue測度に関して絶対連続であるものについて特徴づけること。
• このような自己準同型写像が必然的にLatt`es写像であることを確立し、FornaessとSibonyが提起した問題を解決すること。
• Green測度の絶対連続性が、Hausdorff次元が最大で、リヤプノフ指数が最小であるといった極値的力学的挙動をもたらすことを示すこと。
• 高次元複素力学において、Koebe型定理の不在を克服するための新しい局所線形化法を開発・適用すること。
• Greenカレントおよびその累乗を介して、測度論的正則性（絶対連続性）と幾何的構造（Latt`es形式）の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 一般点近傍での力学を正規化するため、反復写像 $f^n$ を微分の逆 $(D_x f^n)^{-1}$ で前合成する局所線形化手順を導入する。
• Green測度 $\mu = T^k$ の絶対連続性の仮定を用いて、$f^n$ による前像の体積増大を制御する。
• 測度 $\mu$ のリヤプノフ指数 $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ に依存する、球の前像の歪みに関する一様推定を得る。
• $\mathbb{P}^k$ 上の細かいメッシュを用いた被覆議論により、歪みが制御された点の集合 $A_n$ を被覆する前像集合 $P_i$ の数を評価する。
• 集合 $\bigcup_i P_i$ の体積評価を用いて、$\limsup_n A_n$ である $Y$ のHausdorff測度を推定し、次元推定を導く。
• 全 $\mu$-測度を持つBorel集合である $Y$ の $l_\epsilon$-Hausdorff測度に下界を示し、$\dim(\mu) = 2k$ が成り立つのは $f$ がLatt`esである場合に限ることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ の正則自己準同型写像のGreen測度が、Lebesgue測度 $\omega^k$ に関して絶対連続であるか？
• RQ2 極大エントロピー測度の極値的性質（Hausdorff次元が最大、またはリヤプノフ指数が最小）のみからLatt`es性質を特徴づけられるか？
• RQ3 高次元において、$\mu = T^k$ の絶対連続性から、Greenカレント $T$ の正則性を確立できるか？
• RQ4 $k \geq 2$ の場合、Koebe歪み定理に依存せずに $\mathbb{P}^k$ 上に線形化法を構築することは可能か？
• RQ5 Green測度の次元と自己準同型写像の力学的構造との間の正確な関係は何か？

主な発見

• Lebesgue測度 $\omega^k$ に関してGreen測度 $\mu$ が絶対連続であるような、$\mathbb{P}^k$ の正則自己準同型写像として唯一存在するのはLatt`es自己準同型写像である。
• Latt`es自己準同型写像のGreen測度 $\mu$ は、Hausdorff次元が正確に $2k$ であり、これは最大の可能性である。
• 任意の自己準同型写像について、その測度のリヤプノフ指数が最小で $\log \sqrt{d}$ に等しいのは、写像がLatt`esである場合に限る。
• 反復写像における歪みが制御された点からなる集合 $Y = \limsup_n A_n$ は、すべての $\epsilon > 0$ に対して有限な $l_\epsilon$-Hausdorff測度を持つ。これは、$\mu$ が絶対連続ならば $\dim(\mu) = 2k$ が成り立つことを示唆する。
• 本稿で開発された線形化法により、Koebe型定理の不在を補っても、高次元における前像体積の制御が可能である。
• 最大次元、最小リヤプノフ指数、Latt`es性質の同値性は、すべての $k \geq 1$ に対して成り立ち、既知の1次元結果を一般化する。