[論文レビュー] Une formule pour le groupe de Brauer algébrique d'un torseur

Cyril Demarche|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴標数 0 の体上の連結な代数群による同次空間の代数的ブラウーグループと、ガロアモジュールの三項複体のハイパーキョコミアの間の標準的同型を確立し、ボロボイとヴァン・ハムエルの先行結果を非線形代数群および超越的ブラウーグループ類へ一般化する。主な貢献は、安定化部分群の再帰的かつ単純連結被覆の特性モジュールを用いて、特徴標数 0 の体上の連結代数群による同次空間の代数的ブラウーグループの明示的記述を与える公式である。

ABSTRACT

For a homogeneous space X of a connected algebraic group G (with connected stabilizers) over a field k of characteristic zero, we construct a canonical complex of Galois modules of length 3 and a canonical isomorphism between an hypercohomology group of this complex and an explicit subgroup of the Brauer group of X. This result is obtained as a consequence of a formula describing the "algebraic Brauer group of a torsor", and it generalizes recent results by Borovoi and van Hamel, by considering non-linear groups G and by taking into account some transcendental elements in the Brauer group of X.

研究の動機と目的

• 特徴標数 0 の体上の連結代数群による同次空間の代数的ブラウーグループの明示的記述を提供すること。
• 線形群に限られていたボロボイとヴァン・ハムエルの先行結果を非線形代数群へ拡張すること。
• 超越的ブラウーグループ類を、Br₁(X,G) と呼ばれる部分群を導入することで、ブラウーグループに体系的に組み込むこと。
• Brₐ(X,G) すなわち Br₁(X,G) と Br(k) の商を計算するガロアモジュールの三項複体の自然な同型を構成すること。
• ホモロジー代数およびガロアコホホロジーを用いて、代数群およびその同次空間のブラウーグループに関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 安定化部分群の再帰的および単純連結被覆の特性モジュールを用いて、ガロアモジュール複体 Ĉ_X を定義する。
• 有理点によって誘導される自然な準同型 π: G̅ → X̅ を用い、Br(X) → Br(X̅) → Br(G̅) の合成の核として Br₁(X,G) ⊆ Br(X) を定義する。
• Pic(G̅) = 0 の仮定の下では、Z̅_H^red と Z̅_H^sc を用いて複体を構成する一方、X(k) ≠ ∅ の場合には G, G^sc, H の最大トーラスを用いる。
• ハイパーキョコミア H²(k, Ĉ_X) を適用して代数的ブラウーグループを計算し、適切な条件下で Brₐ(X,G) と同型であることを示す。
• 既知の代数群の結果（例えば、シェヴァリエの構造定理）を活用し、G を線形部とアーベル部に分解することで、特性モジュールの使用を可能にする。
• Brₐ(X,G) と H²(k, Ĉ_X) の自然な同型を用いて、X の算術的性質と構成された複体のガロアコホホロジーとの関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が線形でない場合に、特徴標数 0 の体上の連結代数群 G による同次空間 X の代数的ブラウーグループを、ガロアコホホロジーの観点からどのように記述できるか。
• RQ2 安定化部分群 H が線形でない場合に、H が X のブラウーグループに果たす役割は何か。
• RQ3 ブラウーグループの超越的類は、コホモロジー的構成を用いて体系的に捉えることができるか。
• RQ4 ガロアモジュールの三項複体のハイパーキョコミアが、代数的ブラウーグループ Brₐ(X,G) を計算するための条件は何か。
• RQ5 新しいガロアモジュール複体は、線形の場合の UPic(X̅) やピカール複体とどのように関係しているか。

主な発見

• X(k) ≠ ∅ のとき、ハイパーキョコミア H²(k, Ĉ_X) が代数的ブラウーグループ Brₐ(X,G) を計算する、自然な三項複体 Ĉ_X の構成がなされた。
• Pic(G̅) = 0 の仮定の下では、複体は Ĉ_X = [Ĝ → Ẑ_H^red → Ẑ_H^sc] であり、X(k) ≠ ∅ または H³(k, Gₘ) = 0 ならば H²(k, Ĉ_X) は Brₐ(X,G) に同型である。
• X(k) ≠ ∅ のとき、複体は Ĉ'_X = [T̂_G → Pic(G̅^ab) ⊕ T̂_G^sc ⊕ T̂_H → T̂_H^sc] に変わり、H²(k, Ĉ'_X) は Brₐ(X,G) に自然に同型である。
• この構成は、トーラスおよび半単純群に対するサンスークの公式を一般化し、ボロボイ–ヴァン・ハムエルの結果を線形群を超えて拡張する。
• Br₁(X,G) を Br₁(X) を含み、かつそれより真に大きい可能性がある部分群として定義することにより、超越的ブラウーグループ類を扱う。
• H³(k, Gₘ) = 0 のとき、同型が成立し、これはグローバル体、p進体、または X が次数 1 のゼロサイクルをもつ場合に満たされる。