[論文レビュー] Une Structure Uniforme sur un Espace F(E,F)

Nicolas Bouleau|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2010

Advanced Topology and Set Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、位相空間 E から一様空間 F への関数の空間 𝒞(E,F) に、V収束一様構造と呼ばれる均一構造を導入する。この構造により、連続関数の点別極限が連続のままであり、この構造における収束が連続関数上では点別収束と同値であることが保証される。主な貢献は、点別収束を refining するが、極限の連続性を保つ一様位相を 𝒞(E,F) に定義することにある。

ABSTRACT

Let E be a topological space and F a uniform space. We introduce a new topology (in fact a uniform structure) called the V-congergence on the space of applications from E to F such that C(E,F) is closed for this topology and the restriction of this topology to C(E,F) is equivalent to pointwise convergence. In other words this topology is the coarsest preserving continuity. We give a criterion of convergence for this topology not involving the limit. Among properties preserved are mesurability and alpha-borelianity for a countable ordinal alpha.

研究の動機と目的

• 位相空間 E から一様空間 F への関数の空間 𝒞(E,F) に一様構造を定義すること。
• この構造において連続関数の列の極限が連続のままであるように保証すること。
• この構造を 𝒞(E,F) に制限した場合、点別収束位相と同値であるようにすること。
• この一様構造が関数解析学および位相幾何学における応用を検討すること。
• V 収束における相対コンパクト性および完備性の条件を確立すること。

提案手法

• 有限部分集合 A ⊂ E および F の近縁 W を用いて、A の近傍で (f(x),g(x)) ∈ W となるような 𝒞(E,F) × 𝒞(E,F) の近縁 𝒰_{W,A} を定義する。
• 族 {𝒰_{W,A}} が 𝒞(E,F) 上の一様構造の基本近縁系をなすことを証明し、これを V 収束一様構造と呼ぶ。
• この一様構造が点別収束より強いが、局所一様収束より弱いことを示す。
• 評価写像の連続性と、𝒞(E,F) が V 一様構造において閉じていることを利用して、連続関数の極限が連続であることを証明する。
• 点別相対コンパクト性と点別収束に関する閉包性を用いて、V 一様構造における相対コンパクト性の基準を確立する。
• F が位相線形空間であり、関数が局所有界である場合、V 一様構造がベクトル空間演算と両立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間から一様空間への関数の空間に、連続関数の極限が連続のままであるような一様構造を定義できるか？
• RQ2 この一様構造を連続関数の空間に制限した場合、点別収束位相と同値になるか？
• RQ3 V 一様構造における相対コンパクト性を保証する条件は何か？
• RQ4 V 収束一様構造は、関数空間上の他の標準的位相とどのように関係するか？
• RQ5 V 収束一様構造において関数空間が完備となる条件は何か？

主な発見

• 𝒞(E,F) に導入された V 収束一様構造により、連続関数の集合 𝒞(E,F) はこの一様構造を備えた 𝒞(E,F) において閉じている。
• V 収束一様構造を 𝒞(E,F) に制限した場合、点別収束位相と同値である。
• H ⊂ 𝒞(E,F) が V 収束において相対コンパクトであるための必要十分条件は、各 x ∈ E に対して H(x) が F で相対コンパクトであり、かつ H の点別閉包が 𝒞(E,F) に含まれることである。
• F が位相線形空間である場合、局所有界関数の空間における V 収束一様構造は、ベクトル空間構造と両立する。
• X が局所コンパクトかつ σ-コンパクトであり、Y が距離化可能である場合、Borel可測関数の空間および Borel クラス α の関数の空間は、V 一様位相において閉じている。
• X が σ-コンパクトかつ局所コンパクトであり、Y が距離化可能である場合、V 一様位相は可算閉包性を満たす：f₀ が集合 A の閉包に属するならば、f₀ は A の可算部分集合の閉包にも属する。