[論文レビュー] Unexpected biases in the distribution of consecutive primes

Robert J. Lemke Oliver, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、qを法とする連続する素数対の分布に見られる予期せぬ偏りを説明し、ハーディー＝リトルウッドk-タプル予想に基づくヒューリスティックを提案する。対角パターン（pₙ ≡ a mod q, pₙ₊₁ ≡ a mod q）は非対角パターンよりも著しく頻度が低く、漸近展開の2次項——反復する剰余の数と複素L関数に起因する——が一様性からの系統的逸脱を引き起こしていることが明らかになった。

ABSTRACT

While the sequence of primes is very well distributed in the reduced residue classes (mod $q$), the distribution of pairs of consecutive primes among the permissible $ϕ(q)^2$ pairs of reduced residue classes (mod $q$) is surprisingly erratic. This paper proposes a conjectural explanation for this phenomenon, based on the Hardy-Littlewood conjectures. The conjectures are then compared to numerical data, and the observed fit is very good.

研究の動機と目的

• qを法とする連続する素数対の観察された不規則な分布を説明すること。
• 素数がqを法として一様に分布しているのにもかかわらず、連続する素数対が一様性から著しく逸脱しているというパラドックスを解明すること。
• ハーディー＝リトルウッドk-タプル予想に基づくヒューリスティックモデルを構築し、これらの偏りを予測すること。
• π(x;q,a)の漸近公式における2次項の大きさと構造を定量化し、観察された偏りを駆動する要因を特定すること。
• 複数の法（q = 3, 8, 10, 12, 5）において、広範な数値データと照合して仮説を検証すること。

提案手法

• π(x;q,a)の主要な漸近公式を提示し、主項として ∼ li(x)/φ(q)^r とし、2次項に log log x / log x および 1/log x を含む。
• c₁(q;a) を、タプルaにおける連続する等しい剰余の数の関数として導出し、支配的偏りを捉える。
• r=2の場合にc₂(q;a)を明示的に計算し、r≥3の場合には再帰的に計算し、局所的密度および指標和の寄与を統合する。
• ディリクレ指標とL関数を用いて、q=8, 12, 5などの特殊ケースを含む複素法におけるc₂(q;a)を計算する。
• 予想を適用して、対称性や非対称性を含むさまざまな剰余パターンにおける偏りの順序と大きさを予測する。
• x=10¹²までの数値データと予測を比較し、大きさと傾向の両面で良好な一致が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜqを法とする連続する素数対は、個々の素数が一様に分布しているにもかかわらず、一様分布から著しく逸脱するのか？
• RQ2 なぜ対角パターン（a,a）が連続する素数対において一貫して過小に現れるのか？
• RQ3 ハーディー＝リトルウッドk-タプル予想は、連続する素数分布における観察された偏りを説明できるか？
• RQ4 π(x;q,a)の漸近公式における2次項は、さまざまな剰余パターンの相対頻度にどのように影響するか？
• RQ5 漸近展開の低次の項が、q=5の事例で見られるように一時的な順序の逆転を引き起こすのか？

主な発見

• q=3の場合、(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)の連続する素数対の数はそれぞれ期待される250,000とは著しく異なるが、(1,1)と(2,2)は頻度が低く抑えられている。
• q=10の場合、対角ペア（1,1）、（3,3）、（7,7）、（9,9）は非対角ペアよりも頻度が低く、最初の10⁸個の素数において（1,1）は460万件、（3,3）は444万件にとどまっている。
• q=12の場合、パターン（5,7）は予測されたc₂値が最も高く、x=10¹²における数値データではπ(x;12,(5,7)) ≈ 2.83×10⁹であり、（1,1）の1.84×10⁹よりも顕著に高い。
• q=5の場合、予想ではxが十分に大きいとπ(x;5,(1,3)) > π(x;5,(1,2))となるが、数値データはx≈5.08×10¹¹でこの逆転が発生することを確認し、モデルの妥当性が裏付けられた。
• 偏りはチエビシェフ型の偏りではなく、特にc₁(q;a)とc₂(q;a)に起因する漸近展開の高次項に由来する。
• 指標和とL関数の値を用いることで、モデルは（a,b）と（−b,−a）が同じc₂を持つ対称性、およびq=12における（5,7）と（11,1）のような非対称性を説明できる。