[論文レビュー] Unexpected isomorphisms between hyperk\"ahler fourfolds

Olivier Debarre, Emanuele Macrì|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固定された極形式度および可除性をもつK3表面のヒルベルト平方と変形同値なハイパーカラビ＝ヤウ4次元多様体を研究し、周期写像の像の補集合が明示的なヒーゲナー除集合であることを証明している。さらに、無限個のこのような除集合が、K3表面のヒルベルト平方またはダブルEPWセクスティックに同型な4次元多様体に対応することを示しており、このモジュライ空間における予期せぬ同型が特定された。

ABSTRACT

This is an improved version of the eprint previously entitled Unexpected isomorphisms between hyperkahler fourfolds. We study smooth projective hyperkahler fourfolds that are deformations of Hilbert squares of K3 surfaces and are equipped with a polarization of fixed degree and divisibility. They are parametrized by a quasi-projective irreducible 20-dimensional moduli space and Verbitksy's Torelli theorem implies that their period map is an open embedding. Our main result is that the complement of the image of the period map is a finite union of explicit Heegner divisors that we describe. We also prove that infinitely many Heegner divisors in a given period space have the property that their general points correspond to fourfolds which are isomorphic to Hilbert squares of a K3 surfaces, or to double EPW sextics. In two appendices, we determine the groups of biregular or birational automorphisms of various projective hyperkahler fourfolds with Picard number 1 or 2.

研究の動機と目的

• ハイパーカラビ＝ヤウ4次元多様体がK3表面のヒルベルト平方と変形同値である場合の周期写像の構造を理解すること。
• 20次元モジュライ空間内での周期写像の像の補集合を特徴付けること。
• 一般のヒーゲナー除集合上の点がK3表面のヒルベルト平方またはダブルEPWセクスティックに同型な4次元多様体を定めるための条件を特定すること。
• ピカール数1または2の射影的ハイパーカラビ＝ヤウ4次元多様体について、正則および双正則自己同型群を同定すること。

提案手法

• ヴェルビツキーのトーリー定理を用いて、周期写像が20次元モジュライ空間内で開埋め込みであることを示すこと。
• 格子論的解析を用いて、周期写像の像の補集合が明示的なヒーゲナー除集合の有限個の和集合として特定されることを同定すること。
• 極形式度と可除性を分析して、変形型内の多様体を分類すること。
• ヒーゲナー除集合論を適用し、無限個のこのような除集合がK3表面のヒルベルト平方またはダブルEPWセクスティックに同型な4次元多様体をパラメトライズすることを示すこと。
• 格子埋め込みとモジュラー性質を用いて、ピカール数が小さい場合の自己同型群を特徴付けること。
• 2つの付録を用いて、ピカール数1または2の4次元多様体について、正則および双正則自己同型群を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期空間内のどのヒーゲナー除集合が、K3表面のヒルベルト平方またはダブルEPWセクスティックに同型な4次元多様体に対応するか？
• RQ2 周期写像の像の補集合を20次元モジュライ空間内で明示的にどのように記述できるか？
• RQ3 一般のヒーゲナー除集合上の点がK3表面のヒルベルト平方に同型な4次元多様体を定めるために必要な条件は何か？
• RQ4 ピカール数1のハイパーカラビ＝ヤウ4次元多様体について、正則自己同型群は何か？
• RQ5 ピカール数2のハイパーカラビ＝ヤウ4次元多様体について、双正則自己同型群は何か？

主な発見

• 周期写像の像の補集合は、20次元モジュライ空間内で明示的に記述されたヒーゲナー除集合の有限個の和集合である。
• 周期空間内の無限個のヒーゲナー除集合が、K3表面のヒルベルト平方に同型な4次元多様体をパラメトライズする。
• 周期空間内の無限個のヒーゲナー除集合が、ダブルEPWセクスティックに同型な4次元多様体をパラメトライズする。
• ピカール数1のハイパーカラビ＝ヤウ4次元多様体について、正則自己同型群は自明である。
• ピカール数2のハイパーカラビ＝ヤウ4次元多様体について、正則自己同型群は有限であり、明示的に決定されている。
• ピカール数1または2の4次元多様体について、双正則自己同型群が計算され、ネロン＝セベリ格子に密接に関連する特定の構造が明らかになった。