[論文レビュー] Unexpected quadratic behaviors for the small-time local null controllability of scalar-input parabolic equations

Karine Beauchard, Frédéric Marbach|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 43被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、線形化が失敗する平衡点の近傍におけるスカラー入力の放物型方程式の小時間局所ゼロ可制御性を分析する。2つの新しい無限次元二次的挙動を同定する：分数的負のソボレフノルムによる連続的家族の障害、および驚くべきことに二次展開を通じて小時間局所ゼロ可制御性が回復すること——これは無限次元では、$ H^{-s} $-正則性を持つ制御を用いて無限個の方向を回復できることを示しており、有限次元では不可能な現象である。

ABSTRACT

We consider scalar-input control systems in the vicinity of an equilibrium, at which the linearized systems are not controllable. For finite dimensional control systems, the authors recently classified the possible quadratic behaviors. Quadratic terms introduce coercive drifts in the dynamics, quantified by integer negative Sobolev norms, which are linked to Lie brackets and which prevent smooth small-time local controllability for the full nonlinear system. In the context of nonlinear parabolic equations, we prove that the same obstructions persist. More importantly, we prove that two new behaviors occur, which are impossible in finite dimension. First, there exists a continuous family of quadratic obstructions quantified by fractional negative Sobolev norms or by weighted variations of them. Second, and more strikingly, small-time local null controllability can sometimes be recovered from the quadratic expansion. We also construct a system for which an infinite number of directions are recovered using a quadratic expansion. As in the finite dimensional case, the relation between the regularity of the controls and the strength of the possible quadratic obstructions plays a key role in our analysis.

研究の動機と目的

• 線形化された系が可制御でない場合のスカラー入力放物型方程式の小時間局所ゼロ可制御性を分析すること。
• 有限次元における二次的可制御分類を無限次元放物型系へと拡張すること。
• 特に分数的ソボレフノルムを含む、無限次元設定特有の新たな二次的挙動を同定・特徴づけること。
• 線形的障害があるにもかかわらず、二次のダイナミクスを通じて小時間局所ゼロ可制御性が回復可能かどうかを調査すること。
• 制御の正則性（例：$ H^{-s} $, $ W^{-n, ho} $）が可制御性を促進または妨げる役割を特定すること。

提案手法

• ノンリニア放物型制御系の2次展開を、ノイマン境界条件を伴うスカラー熱方程式に従って分析する。
• 固有関数 $ \rho_k(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt{2} \cos(kx) $ を用いたスペクトル分解により、系を常微分方程式の系列に射影する。
• フーリエ解析と分数的ソボレフノルム $ \|f\|_{H^{-s}(\mathbb{R})} $ を用いて、制御の正則性とその二次的ドリフトへの影響を特徴づける。
• 無限次元における連続的家族の二次的障害をモデル化するために、負のソボレフノルムの重み付き変種を導入する。
• フラットネス法とコンパクトな台を持つフーリエ変換を持つ制御関数の反復的構成を用いて、ゼロ可制御性を達成する。
• $ s \in (0, \frac{1}{2}) $ に対して $ H^{-s} $ ノルムにおける一様な制御コスト推定を確立し、より強いノルムではコストが発散することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化された系が可制御でない場合、放物型系において小時間局所ゼロ可制御性は回復可能か？
• RQ2 有限次元の対応物に存在しない、無限次元放物型系に現れる新たな二次的挙動は何か？
• RQ3 制御の分数的負のソボレフノルムが、二次的障害の存在と強度にどのように影響するか？
• RQ4 線形的障害があるにもかかわらず、無限個の失われた方向を二次展開を用いて回復可能か？
• RQ5 二次的ドリフトが存在する状況で、小時間における一様な制御コスト推定を達成するために必要な制御の最小正則性は何か？

主な発見

• 2つの新しい無限次元二次的挙動が同定された：分数的負のソボレフノルムまたはその重み付き変種によって定量化される連続的家族の障害。
• 線形化された系が可制御でない場合でも、二次展開を通じて小時間局所ゼロ可制御性が回復可能である——これは有限次元の期待とは対照的である。
• $ s \in (0, \frac{1}{2}) $ である $ H^{-s} $-正則性を持つ制御を用いて、無限個の方向が回復可能である明示的例が構成された。この場合、小時間における一様な制御コストが達成される。
• $ W^{-n, p} $ ノルム（$ p \in [1, \infty] $）で測定した場合、制御コストは $ T^{-n - m + \frac{1}{p}} $ のように発散するが、$ s \in (0, \frac{1}{2}) $ に対して $ H^{-s} $ ノルムではコストが有界のまま保たれる。
• 制御コストが小時間において一様であるのは、$ s \in (0, \frac{1}{2}) $ における $ H^{-s} $ ノルムでのみであり、$ W^{-n+1, \infty} $ ノルムではそうではない。これは正則性における鋭い閾値を示している。
• 制御の正則性と二次的障害の強度との間に非自明な相互作用が生じており、$ H^{-s} $ ノルムでは強力なノルムが失敗する状況でも回復が可能である。