[論文レビュー] Unextendible mutually unbiased bases in prime-squared dimensions

Vishakh Hegde, Prabha Mandayam|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$ を素数として、素数の平方次元 $d = p^2$ において、一般化されたパウリ演算子の最大可換クラスを用いて、$p+1$ 個の相互に unbiased な基底（MUB）の拡張不能な集合を構成する。この集合がシャノンおよび衝突エントロピーの不確実性関係を両方とも達成し、量子暗号や高次元系におけるもつれ検出に不可欠なタイトな境界を達成することを証明する。

ABSTRACT

A set of mutually unbiased bases (MUBs) is said to be unextendible if there does not exist another basis that is unbiased with respect to the given set. Here, we prove the existence of smaller sets of MUBs in prime-squared dimensions ($d=p^{2}$) that cannot be extended to a complete set using the generalized Pauli operators. We further observe an interesting connection between the existence of unextendible sets and the tightness of entropic uncertainty relations (EURs) in these dimensions. In particular, we show that our construction of unextendible sets of MUBs naturally leads to sets of $p+1$ MUBs that saturate both a Shannon ($H_{1}$) and a collision ($H_{2}$) entropic lower bound. Such an identification of smaller sets of MUBs satisfying tight EURs is crucial for cryptographic applications as well as constructing optimal entanglement witnesses for higher dimensional systems.

研究の動機と目的

• 一般化されたパウリ演算子を用いて、$d = p^2$ 次元における相互に unbiased な基底（MUB）の集合を拡張できないように構成すること。
• $d = p^2$ 次元におけるMUB集合の拡張不能性と、エントロピー不確実性関係（EUR）のタイトさとの間の関係を確立すること。
• $p+1$ 個のMUBが、シャノン（$H_1$）および衝突（$H_2$）エントロピー下限を両方とも達成する、より小さな集合を同定することにより、最適な量子情報プロトコルを可能にすること。
• $d = p^2$ において、パウリ演算子の最大可換クラスを用いて、弱く拡張不能なMUBの体系的構成を提供すること。

提案手法

• 複素数空間 $\mathbb{C}^{p^2}$ 内の一般化されたパウリ演算子の最大可換クラスの共通固有基底としてMUBを構成する。
• 各既存のクラスから $p-1$ 個の演算子を選択して新たな最大可換クラスを形成することは不可能である、という定義により、拡張不能性を定義する。
• 有限体 $\mathbb{F}_p$ の構造を用いて基底状態と演算子をパラメータ化し、拡張不能な集合の体系的構成を可能にする。
• 根 $\omega = e^{2\pi i/p}$ を用いて、新たに構成されたクラス $\mathcal{C}_I$ の共通固有状態 $|\psi\rangle\langle\psi|$ の密度行列を導出する。
• 対称性とトレース直交性を活用して、各MUBの射影確率のトレースをとり、$H_2$ および $H_1$ エントロピーを計算する。
• すべての $p+1$ 個の基底における平均エントロピーが $\log p$ に等しくなることを示し、両方のエントロピー境界の達成を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数の平方次元 $d = p^2$ において、MUBの拡張不能な集合を体系的に構成できるか？
• RQ2 $d = p^2$ におけるMUBの拡張不能性は、エントロピー不確実性関係のタイトさを示唆するか？
• RQ3 $d = p^2$ における $p+1$ 個のMUBは、シャノンおよび衝突エントロピー下限の両方を達成するか？
• RQ4 このような拡張不能なMUBは、最適なもつれ見せんの構築や、量子暗号プロトコルの改善に利用できるか？

主な発見

• 構成された $d = p^2$ 次元における $p+1$ 個のMUBの集合は、拡張不能である。つまり、一般化されたパウリ演算子を用いて、すべての $p+1$ 個の基底に対して無相関となる新たな基底を構成することはできない。
• この集合は、衝突エントロピー不確実性関係 $\frac{1}{p+1}\sum_{i=1}^{p+1}H_2(\mathcal{B}_i|\psi) \geq \log p$ を達成し、特定の状態 $|\psi\rangle$ で等号が成立する。
• この集合は、シャノンエントロピー不確実性関係 $\frac{1}{p+1}\sum_{i=1}^{p+1}H_1(\mathcal{B}_i|\psi) \geq \log p$ に対しても、同じ状態 $|\psi\rangle$ で等号が成立する。
• 新たに構成されたクラス $\mathcal{C}_I$ の共通固有状態 $|\psi\rangle$ は、すべての $p+1$ 個の基底における平均エントロピーを最小にするため、両方の境界のタイトさが確認される。
• この構成は、$p+1$ 個の最大可換クラスからそれぞれ $p-1$ 個の演算子を選択し、新たな最大可換クラス $\mathcal{C}_I$ を形成することに依存する。
• この結果により、$d = p^2$ におけるMUBの拡張不能性と、エントロピー不確実性関係の最適性との直接的な関係が確立される。