[論文レビュー] Ungauging quantum error-correcting codes

Aleksander Kubica, Beni Yoshida|arXiv (Cornell University)|May 4, 2018

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 54

ひとこと要約

本論文はPauli CSS量子コードのゲージングおよびアンゲージング手順を形式化し、それらをサブシステムコードおよび3Dゲージカラーコードに適用し、これらの構成が新しい対称性構造、SPT相、およびMBQCモデルを生み出すことを示す。

ABSTRACT

We develop the procedures of gauging and ungauging, reveal their operational meaning and propose their generalization in a systematic manner within the framework of quantum error-correcting codes. We demonstrate with an example of the subsystem Bacon-Shor code that the ungauging procedure can result in models with unusual symmetry operators constrained to live on lower-dimensional structures. We apply our formalism to the three-dimensional gauge color code (GCC) and show that its codeword space is equivalent to the Hilbert space of six copies of $\mathbb{Z}_2$ lattice gauge theory with $1$-form symmetries. We find that three different stabilizer Hamiltonians associated with the GCC correspond to distinct thermal symmetry-protected topological (SPT) phases in the presence of the stabilizer symmetries of the GCC. One of the considered Hamiltonians describes the Raussendorf-Bravyi-Harrington model, which is universal for measurement-based quantum computation at non-zero temperature. We also propose a general procedure of creating $D$-dimensional SPT Hamiltonians from $(D+1)$-dimensional CSS stabilizer Hamiltonians by exploiting a relation between gapped domain walls and transversal logical gates. As a result, we find an explicit two-dimensional realization of a non-trivial fracton SPT phase protected by fractal-like symmetries.

研究の動機と目的

• CSSスタビライザコードおよびサブシステムコードのゲージングとアンゲージングの体系的枠組みを開発する。
• アンゲージングを通じてサブシステムコードのコード語空間を特徴づける。
• この枠組みを3Dゲージカラーコードに適用して、その相構造と対称性を明らかにする。
• フラクタル様の対称性からフラクトン frac-SPT相の出現を実証する。
• ギャップのあるドメイン壁を介して(D+1)-次元のCSSスタビライザーコードからD次元のSPTハミルトニアンを構築する一般的手法を提案する。

提案手法

• スタビライザとシンドロームを結ぶ連鎖複体と境界写像を用いてCSSスタビライザコードを表現する。
• tilde GammaをZ型対称部分空間と新たに現れるX型対称部分空間との同型として定義し、Pauli演算に対する明示的作用を次のように示す（Z(c_Q) -> Z(partial_X c_Q), X(M_X c_X) -> X(c_X)).
• 境界partial_Z, partial_X, partial_Rを持つungaugingチェイン複体(C_Z, C_Q, C_X, C_R)を用いて最終量子ビットと現れる対称性を決定する。
• 例としてトーリックコードと2D Bacon-Shorコードのungaugingを示し、低次元の剛性対称演算子を明らかにする。
• この形式を3Dゲージカラーコードに適用してコード語空間を1-form対称性を持つZ2格子ゲージ理論の6コピーに写像する。
• GCCスタビライザハミルトニアンの違いが、スタビライザ対称性の下で異なる固定点（熱的）SPT相に対応することを示し、Raussendorf–Bravyi–Harringtonモデルを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pauli CSS対称性に対するゲージングとアンゲージングの、CSSサブシステムコード内での正確な運用定義は何か？
• RQ2 アンゲージングはサブシステムコードのコード語空間を、現れるX型対称性によって定義される空間にどのように変換するか？
• RQ3 アンゲージングしたときのGCCコード語空間の構造はどうなるか、そしてGCCスタビライザハミルトニアンは1-form対称性の下でどうSPT相へ写像されるか？
• RQ4 フラクトンコードはアンゲージングとギャップのあるドメイン壁を介してフラクタル対称性保護トポロジー相を実現するのに用いられるか？
• RQ5 ギャップのあるドメイン壁と横断的論理ゲートを用いて、(D+1)-次元のCSSスタビライザーコードからD次元のSPTハミルトニアンを構築できるか？

主な発見

• 2D Bacon-Shorのアンゲージングは、そのコード語空間をX型対称性に支配される、異常で低次元に制約された対称演算子を持つ部分空間へ写す。
• GCCコード語空間はZ型のアンゲージングの下で1-form対称性を持つ六つのZ2格子ゲージ理論のコピーと同等である。
• GCCから導かれる異なるスタビライザハミルトニアンは、GCCスタビライザ対称性の存在下で異なる熱的SPT相に対応する。
• 1つのGCC関連ハミルトニアンはRBHモデルに対応し、1-form対称性の下での熱的秩序により非零温度での測定ベース量子計算に対して普遍である。
• ギャップのあるドメイン壁と transversal 論理ゲートの関係を利用して(D+1)-D CSSスタビライザコードからD次元SPTハミルトニアンを構築する一般的手順を提案し、2Dで明示的な fractal-like frac-SPT 実現を可能にする。