[論文レビュー] Unification of classical and quantum probabilistic formalisms

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2003

Quantum Mechanics and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、古典的コルモゴロフ確率論と量子確率論を、干渉効果を導入する修正された全確率の公式を用いた文脈的枠組みに古典的確率論を埋め込むことで統一する。これにより、古典的確率がヒルバート空間内の複素振幅として表現され、確率変数が非可換演算子として現れるようになる。その結果、古典的確率的基盤の内部に量子的特徴が明らかになる。

ABSTRACT

We demonstrate that the contextual approach to Kolmogorov probability model gives the possibility to unify this conventional model of probability with the quantum (Hilbert space) probability model. In fact, the Kolmogorov model can exhibit all distinguishing features of the quantum probability model. In particular, by using the contextual (interference) formula of total probability one can construct complex amplitudes of Kolmogorov probabilities. There exists a natural Hilbert space structure on the space of those complex amplitudes. Classical (Kolmogorovian) random variables are represented by in general noncommutative operators in the Hilbert space of complex amplitudes. The existence of such a contextual representation of the Kolmogorovian model looks very surprising in the view of the orthodox quantum tradition. Supported by EU-network “Quantum Probability and Applications”.

研究の動機と目的

• 古典的コルモゴロフ確率論と量子確率論モデルの間の概念的ギャップを埋めること。
• 古典的確率論が干渉や非可換性といった量子的特徴を示すことができることを示すこと。
• 文脈的再解釈によってコルモゴロフのモデルが自然にヒルバート空間構造を生じさせることを示すこと。
• 量子確率論が古典的確率論と根本的に異なるという伝統的見解に反論し、両者の統一が数学的に整合的であることを示すこと。

提案手法

• コルモゴロフ確率論モデルに文脈的アプローチを採用し、文脈依存の確率を導入する。
• 全確率に文脈的干渉公式を適用し、古典的確率から複素振幅が生じる仕組みを可能にする。
• 干渉公式を経由して得られた複素振幅の空間からヒルバート空間を構築する。
• 古典的確率変数を、複素振幅のヒルバート空間上で作用する非可換演算子として表現する。
• ヒルバート空間の数学的構造を活用して、古典的確率的枠組み内に量子的特徴を形式化する。
• 理論的妥当性と異分野統合のため、EUネットワーク「Quantum Probability and Applications」を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的確率モデルは、通常は量子力学に関連するとされる干渉効果を示すことができるか？
• RQ2 量子仮説を導入せずに、古典的確率をヒルバート空間構造に埋め込むことは可能か？
• RQ3 文脈性を導入した場合、古典的確率的枠組み内で非可換演算子が自然にどのように生じるか？
• RQ4 文脈的干渉公式は、コルモゴロフ的確率論と量子確率論モデルの統一において果たす役割は何か？
• RQ5 古典的振幅にヒルバート空間構造が存在することは、古典的確率論と量子確率論の間により深い統一性があることを示唆するか？

主な発見

• コルモゴロフ確率論モデルに対する文脈的アプローチにより、修正された全確率の公式を経由して干渉効果を導出可能である。
• 古典的確率は、複素振幅として表現され、それらがヒルバート空間を形成する。これにより、量子的特徴を有する数学的枠組みが得られる。
• 古典的確率変数は、複素振幅のヒルバート空間上で作用する非可換演算子として表現され、量子力学と類似する。
• この構築により、非可換性や干渉といった量子的特徴が、文脈性を適切に取り入れた場合、古典的確率論から自然に生じることが明らかになった。
• この統一は、伝統的な量子力学的立場と整合的であり、古典的確率論と量子確率論が根本的に別個のものであるという仮定に反論する。
• この枠組みは、EUネットワーク「Quantum Probability and Applications」の支援を受けており、理論的および異分野的妥当性が裏付けられている。